Функции алгебры логики двух аргументов

23

Например:

Дана функция F(x, y, z) x y z y & (z x) .

Составить таблицу истинности функции 3-х переменных: F (x, y, z). Изобразить функцию графически.

Решение:

Расставим порядок выполнения действий, соблюдая приоритеты.

Изобразим функцию на кубе:

26

Аналитическая запись ФАЛ

Рассмотрим методы перехода от табличного способа задания функций к аналитическому методу (в виде формул).

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Элементарная конъюнкция – конъюнкция, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Например:

Используя законы алгебры логики преобразовать по шагам функцию F(x,y,z) в ДНФ. Для полученного результата составить таблицу истинности.

Решение:

Выполним преобразования по шагам:

1.z x z x

2.z x x z

3.y z y z y z

4.x z & y x y z

5.x y z x y z x y z

6.( x y z x y x z )

( x y z x y x z )

( x y z x y x z )

(x x y z x x y xx z z ) ( x y z )

( x y z x y z x y

( x y z x y z x y

( x y z x y z x y

28

Алгоритм построения конъюнктивной совершенной нормальной формы

1.Выбрать в таблице все наборы аргументов, на которых функция обращается в 0.

2.Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам

аргументов. При этом если аргумент xi входит в данный набор как 0, он вписывается без изменения в дизъюнкцию, соответствующую данному

набору. Если xi входит в данный набор как 1, то в дизъюнкцию вписывается его отрицание.

3.Полученные дизъюнкции соединить операцией конъюнкция.

Например:

Построить ДСНФ и КСНФ для функции F(x,y,z).

F(x, y, z) x y z y & (z x)

Решение:

Для нахождения ДСНФ выбираем из таблицы №4 только те строки, в которых стоят наборы значений аргументов, обращающие функцию в единицу. Это вторая, третья и пятая строки. Выпишем конъюнкции, соответствующие выбранным строкам:

x y z, x y z, x y z .

Соединяя эти конъюнкции знаками дизъюнкции, получаем:

F(x, y, z) x y z x y z x y z .

Для нахождения КСНФ выбираем из таблицы №4 только те строки, в которых стоят наборы значений аргументов, обращающие функцию в ноль. Выпишем соответствующие дизъюнкции и соединим их знаками конъюнкции.

Получим: F(x, y, z) (x y z)(x y z)(x y z)(x y z)(x y z) .

Полные системы ФАЛ

Система ФАЛ {f1, f2,…, fn} называется полной в некотором классе функций, если любая функция из этого класса может быть представлена суперпозицией этих функций.

Система ФАЛ, являющаяся полной в некотором классе функций, называется базисом.

Минимальным базисом называется такой базис, для которого удаление хотя бы одной из функций fi, которые его

29

образуют, превращает эту систему функций в неполную.

Любая функция может быть представлена с помощью элементарных

функций {¬, &, }. Эта система ФАЛ образует

универсальный базис.

Выполним перевод в базис {|} по действиям.

1.A (x y) z (x | y) z x | y | z [(x | (y | y)) | (x | (y | y)) | (z | z)] |

[(x | (y | y)) | (x | (y | y)) | (z | z)]

2.B (x y) z x | y | z [((x | x) | (y | y)) | ((x | x) | (y | y)) | z] |

[((x | x) | (y | y)) | ((x | x) | (y | y)) | z]

3.C x y z x | y | z [((x | x) | y) | ((x | x) | y) | (z | z)] |

[((x | x) | y) | ((x | x) | y) | (z | z)]

4.F(x, y, z) (A B) C (A | B) C A | B | C [(A | B) | (A | B)] | C

Проверим преобразования с использованием таблицы истинности:

A [(x | (y | y)) | (x | (y | y)) | (z | z)] | [(x | (y | y)) | (x | (y | y)) | (z | z)]

2 1 3 5 4 6

30

Аналогично, проверяем B и C .

Для проверки, построим таблицу истинности для полученной формы функции F(x, y, z).

F(x, y, z) (A B) C (A | B) C A | B | C [(A | B) | (A | B)] | C

Таблица истинности для F(x,y,z)

Cтолбцы, соответствующие функции F(x, y, z) в таблицах истинности равны, следовательно, преобразования выполнены правильно.