9
3)Графическое изображение
={(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на Х2, Х = {1,2,3,4,5,6}
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4)Матрица отношения
={(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на Х2, Х = {1,2,3,4,5,6}
|
x |
x |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
А = |
|
2 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
4 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
6 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Свойства бинарных отношений |
|
||||||||
Пусть задано на множестве |
X, Х2 |
|
|
||||||
Рефлексивность: |
х Х х х . |
|
|
|
|||||
Антирефлексивность: |
|
х Х |
|
х х. |
|
|
|
||
Нерефлексивность: |
|
х Х (x, x) . |
|
|
|
||||
Симметричность: |
|
х, y Х х y => y х. |
|
||||||
Антисимметричность: |
|
х, y Х |
х y, y |
х x = y. |
|||||
Транзитивность: |
|
х, y, z Х |
х y, y z => x z. |
||||||
Отношение порядка – антисимметрично, транзитивно. |
|
||||||||
Отношение нестрого порядка ( ) |
- |
|
рефлексивно, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
антисимметрично, |
|||
Отношение строгого порядка ( ) |
|
|
транзитивно. |
|
|||||
- |
|
антирефлексивно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
антисимметрично, |
|||
|
|
|
|
|
|
транзитивно. |
|
||
В отношениях полного порядка все элементы сравнимы между собой, а в отношениях частичного порядка не все элементы сравнимы между собой.
|
10 |
Отношение эквивалентности ( ) - |
рефлексивно, |
|
симметрично, |
|
транзитивно. |
Класс эквивалентности для х : [ x ] = { y Х | x y }.
Обратное отношение получается путём перестановки значений в парах исходного отношения.
Композиция отношений и - отношение, состоящее из пар
○ = {(x, z)| х у, y z }
Например:
Отношения и заданы на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}.= {(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (6,3)},= {(1,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,6)}.
Область определения |
D = {1, 2, 3, 4, 6}. |
Область значений |
J = {1, 3, 4, 5, 6}. |
Обратное отношение |
-1 = {(4,1), (5,2), (6,3), (1,4), (3,6)}. |
Отношение - антирефлексивно, не симметрично, не транзитивно.
Область определения |
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. |
Область значений |
J = {1, 3, 4, 5, 6}. |
Отношение - не рефлексивно, антисимметрично, не транзитивно. Композиция ○ = {(1,5), (2,6), (3,6), (4,1), (6,4)}.
Например:
Отношение = { (x, y) | сравнение по модулю m, x,y N }.
Отношение сравнения по модулю m на множестве натуральных чисел: x = y mod m, что означает x и y имеют одинаковый остаток при делении на m (классы вычетов по модулю m).
Отрезок натурального ряда N4={1,2,3,4}.
Отношение сравнения по модулю 2 на N4 :
= { (1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2) ,(4,4)}.
Область определения |
D = {1, 2, 3, 4}. |
Область значений |
J = {1, 2, 3, 4}. |
Отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно. Отношение - отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1,3 }=[ 3 ] [ 2 ]={ 2,4 }=[ 4 ].
11
Например:
Отношения и заданы на множестве N4 .
={ (1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4) }={ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) }.
Область определения D = { 1, 2, 3 }.
Область значений J = { 2, 3, 4 }.
Отношение - антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Отношение - отношение строгого порядка.
Область определения D = { 1, 2, 3 ,4 }.
Область значений |
J = { 1, 2, 3, 4 }. |
Отношение - рефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.
Отношение - отношение нестрогого частичного порядка. Отношение - отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности: |
[ 1 ]={ 1} |
|
|
[ 2 |
]={ 2 } |
|
[ 3 ]={ 3 } |
|
|
[ 4 |
]={ 4 }. |
Функциональные отношения |
||
Пусть Х х Y. |
|
бинарное отношение , для |
Функциональное отношение |
– |
|
которого |
|
|
х D y Y: х y .
Всюду определённое отношение – бинарное отношение , для которого D =Х ("нет одиноких х").
Сюръективное отношение – бинарное отношение , для которого J = Y ("нет одиноких y").
Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у.
Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.