Информатика_всем

program MinMaxInv;

var A:array[1..100] of integer; i,N,Imin,Imax,Left,Right,k,j:byte; buf:integer;

begin

writeLn('Введите количество элементов в массиве'); readLn(N);

for i:=1 to N do begin

write('A[',i,']=');

readLn(A[i]);

end;

writeLn('Вывод массива до преобразования:'); for i:=1 to N do

write(A[i]:4);

writeLn;

Imax:=1;

Imin:=1;

for i:=2 to N do begin

if A[i]>A[Imax] then Imax:=i

else

if A[i]<A[Imin] then Imin:=i;

end;

if Imax<Imin then begin

Left:=Imax+1;

Right:=Imin-1; end

else begin

Left:=Imin+1;

Right:=Imax-1; end;

while Left<Right do begin

buf:=A[Left];

A[Left]:=A[Right];

A[Right]:=buf;

inc(Left);

dec(Right);

end;

writeLn('Вывод массива после преобразования:'); for i:=1 to N do

write(A[i]:4);

end.

1165.5 Алгоритмы с использованием вложенных циклов

5.5Алгоритмы с использованием вложенных циклов

Достаточно часто используются алгоритмы, для которых одного прохода по массиву недостаточно. Такие алгоритмы уже рассматривались ранее. Однако, есть более сложные последовательности действий, в которых для каждого прохода требуется свой проход. В этом случае возникает вложенный цикл. Алгоритмы, использующие вложенные циклы достаточно сложны, но в тоже время, отличаются важностью. Рассмотрим наиболее распространенные из таковых.

Наиболее часто встречающейся задачей требующей использования вложенных циклов является задача упорядочивания или сортировки. Так, если у нас, например, массив состоящий из фамилий студентов, то логично их расположить в алфавитном порядке для удобства дальнейшего поиска. Такое упорядочивание будет называться алфавитным.

Рассмотрим, как произвести сортировку числового массива. Вообще все сортировки можно свести к числовым. В случае с алфавитной ее разновидностью это легко сделать, если вспомнить, что в алфавите каждая буква имеет свой порядковый номер.

Итак, у нас есть массив произвольно заполненный числами. Требуется содержимое массива упорядочить по возрастанию, т.е. от меньшего к большему.

Одним из самых простых методов сортировки является сортировка методом линейного поиска. Для этого мы просматриваем массив, находим в нем максимальный элемент, запоминаем его позицию и отправляем найденный максимум в конец массива. Значение элемента с конца направляется на место максимума. Далее организуем еще один проход по массиву, но уже последний элемент не рассматриваем, т.к. он стал на свое место. Алгоритм поиска максимума повторяем, но теперь будет произведен обмен с предпоследней ячейкой. После второго прохода у нас уже два элемента на своих местах: последний и предпоследний. И так далее повторяем алгоритм, пока не достигнем начала массива.

Иллюстрация описанного алгоритма представлена ниже. Здесь переменная k обозначает номер прохода. Подчеркнуты числа, которые подвергаются обмену на текущем проходе. Элементы, которые не участвуют в текущем проходе, выделены вертикальными линиями.

Описанный алгоритм представлен далее (Рисунок 5.19):

for k:=1 to N-1 do begin

Imax:=1;

for i:=1 to N-k+1 do if A[i]>A[Imax] then

Imax := i;

buf := A[N-k+1]; A[N-k+1]:= A[Imax]; A[Imax] := buf;

end;

118 5.5 Алгоритмы с использованием вложенных циклов

Еще одним достаточно простым методом сортировки является сортировка пузырьковым методом. Называется метод так потому, что на каждом проходе двигаясь по массиву мы выхватываем самый большой встретившийся элемент и далее двигаем его к кону массива пока не встретим элемент еще больше. Далее продолжаем движение уже с этим элементом. И так до тех пор, пока весь массив не будет пройден. Этот наибольший элемент можно представить пузырьком в стакане воды, который медленно поднимается на поверхность.

На каждом проходе мы анализируем соседние элементы. Если для них выясняется, что они не на своем месте, то мы их меняем местами. После проверки всех соседних паросочетаний переходим к следующему проходу. Но последний элемент уже не участвует в сортировке, поскольку он уже на своем месте. И так продолжаем до тех пор, пока не достигнем начала массива. Иллюстрация описанного алгоритма представлена ниже. Подчеркнуты те ячейки массива, которые подвергаются анализу в текущий момент. k – количество проходов до окончания сортировки. i – номер анализируемой пары элементов.

Данный алгоритм представлен ниже (Рисунок 5.20):

for k:=N-1 downto 1 do begin

for i:=1 to k do

if A[i]>A[i+1] then begin

buf := A[i]; A[i] := A[i+1]; A[i+1]:= buf;

end;

end;

Как видно из примера разобранного для пузырькового метода, массив оказывается отсортированным значительно раньше, чем закончатся все проходы. Уже на третьем проходе весь массив упорядочен. Оставшиеся три прохода происходят просто так. Даже если массив будет изначально упорядочен, число проходов не изменится. Чтобы учесть высказанные замечания, можно модифицировать пузырьковый метод. Для этого внешний цикл сделаем циклом с постусловием, а внутрь него поместим логическую переменную sort, которая будет принимать при каждой внешней итерации истинное значение. Однако, если массив не отсортирован на данной итерации, то она примет ложное значение. Как только условие упорядоченности

120 5.5 Алгоритмы с использованием вложенных циклов

соседних элементов выполнится для всех ячеек массива, сортировка прекратится.

Иллюстрация этого процесса представлена ниже.

Описанный алгоритм записывается таким образом (Рисунок 5.21): k:=N;

repeat sort:=true; k:=k–1;

for i:=1 to k do

if A[i]>A[i+1] then begin

buf := A[i]; A[i] := A[i+1]; A[i+1]:= buf; sort:=false;

end; until sort;

Итак, для каждого из описанных методов требуется два цикла для осуществления сортировки. Число проверок условий в этих алгоритмах равно

N −1

W = ∑i =1+ 2 +3 +... +(N −2) +(N −1)

k =1

Это сумма арифметической прогрессии, она равна

W = N (N −1) = N 2 − N =Θ(N 2 )

2 2

По данной формуле видно, что зависимость времени исполнения сортировки от размера массива квадратичная. Для этого мы ввели функцию

Θ(N 2 ). Видно, что чем длиннее массив, тем больше времени требуется на его

алгоритмы мы в данной главе рассматривать не будем, поскольку они достаточно сложны для

неподготовленного читателя. Следует отметить, что сложность N log2 (N )

гораздо более приемлемая, чем N 2 , поскольку, например если длина массива возрастает в 100 раз, то время простой сортировки увеличится в 10000 раз. А для быстрой сортировки увеличение времени произойдет примерно в

100 log2 (100)≈ 664 раза.

Еще одной интересной задачей для одномерных массивов является задача поиска одинаковых элементов. Одинаковые элементы можно найти если каждый элемент сравнить с каждым.

Т.е. первый элемент мы сравниваем со вторым, потом с третьим и так до конца массива. Далее сравниваем второй элемент с третьим, четвертым, пятым и т.д. Алгоритм продолжаем до тех пор, пока все пары не будут рассмотрены.

Очевидно, что эта задача решается в два цикла (Рисунок 5.22): for k:=1 to N-1 do

for i:=k+1 to N do if A[k]=A[i] then writeLn(A[i]);

Сложность алгоритма полиномиальная, квадратичная. Всего потребуется, как и для сортировки массива (N 2 − N )/ 2 проверок условия.

5.6 Линейная алгебра и вектора

Как утверждалось ранее, одномерные массивы с числовыми элементами называют векторами. Из курса математики известны аналитические операции

Модуль вектора

По определению, модуль вектора – это величина представляющая собой квадратный корень из суммы квадратов координат, т.е.:

Для массивов имеем:

S:=0;

for i:=1 to N do S:=S + sqr(A[i]);

S:= sqrt(S);

Нормировка вектора

Нормировка – это такое преобразование вектора при котором все его компоненты по модулю становятся меньше единицы. Нормировка показывает относительную выраженность одной из координат вектора относительно других.

Есть несколько подходов к нормировке вектора. Рассмотрим наиболее

часто употребляемые. А именно,

– нормировка на модуль

Нормировка на модуль основана на том основании, что в евклидовом пространстве модуль вектора меньше чем любая из его координат (можно

привести теорему Пифагора, где гипотенуза всегда меньше любого из катетов).

будет следующим:

for i:=1 to N do A[i]:=A[i]/S;

– нормировка на модуль максимального по модулю.

Здесь для нормировки нужно найти максимальный по модулю элемент

и разделить все компоненты вектора на его модуль.

Поиск максимального по модулю элемента может быть представлен

следующим образом:

maxA := abs(A[1]); for i:=1 to N do

If abs(A[i]) > maxA then maxA := abs(A[i]);