Информатика_всем

Векторное произведение

Векторное произведение определено для трехмерного пространства, что

означает равенство длины вектора N = 3. Векторное произведение по

На Pascal это будет выглядеть следующим образом:

C[1]:=A[2]*B[3] – A[3]*B[2];

C[2]:=–A[1]*B[3] + A[3]*B[1];

C[3]:=A[1]*B[2] – A[2]*B[1];

6.ДВУМЕРНЫЕ МАССИВЫ

6.1Понятие и объявление двумерного массива

Довольно часто при обработке больших объемов информации мы имеем дело с упорядочиванием данных по нескольким признакам. Если в структуре данных есть возможность выделения содержимого по этим признакам, то имеет смысл организовывать, так называемый, многомерный массив. Самым простым примером многомерного массива является двумерный.

Двумерный массив – это одномерный массив, каждым элементом которого является свой одномерный массив. Получается так называемый

«массив массивов». Можно сказать и так: двумерный массив – это такой тип данных, элементы которого однотипны и каждый из них характеризуется уникальной парой чисел: индексом строки и индексом столбца.

Рисунок 6.1 Примеры двумерных массивов

Естественным отображением двумерного массива является таблица. Таблица есть двумерная структура, у которой вдоль горизонтального направления перечень одних свойств, а вдоль вертикального – других. Пересечение столбца и строки дает нужный элемент, одновременно обладающий обоими свойствами. Для двумерного массива этими свойствами являются числа – индексы строк и столбцов.

Примеры двумерных массивов изображены на Рисунок 6.1.

На иллюстрации массив A – это массив, элементами которого являются дробные числа (тип real). Объявление массива A следующее:

A: array[1..10, 1..10] of real;

Массив A объявлен с запасом по размерности. На рисунке размерность массива 3×4, а при объявлении мы выделяем память под 10×10=100 ячеек типа real. Это значит, что размер будет 100×6 байт = 600 байт. Используемый размер 3×4×6 байт 72 байта. Видно как сильно зависит расход памяти от размерности массива. Потому следует следить за размерностью и, по возможности, не объявлять слишком больших массивов. Условимся далее для

обозначения числа строк использовать переменную N, а для столбцов M. Т.е. для массива A NA=3, MA=4; для массива B NB=3, MB=3.

B – массив состоящий из наборов символов максимальной длины 15. Объявление массива B такое:

B: array [1..3, 1..3] of string[15];

Как отмечалось ранее двумерный массив – массив массивов, а потому правомерна такая запись для A и B:

A:array[1..10] of array[1..10] of real;

B:array [1..3] of array[1..3] of string[15];

Для непосредственного обращения к элементу нужно указать его адрес. Адрес в двумерном массиве – пара чисел. Сначала идет номер элемента во внешнем одномерном массиве, а потом во внутреннем. Поскольку мы двумерные массивы представляем в виде таблиц, то условимся первым числом обозначать номер строки, а вторым – индекс столбца. Вообще, строки и столбцы можно поменять местами, поскольку именно мы организуем порядок их задания. Но далее всегда будем обозначать сначала строку, а затем столбец.

Для примеров на Рисунок 6.1 это выглядит следующим образом:

И, соответственно, массив B:

B[1,1]= ’привет’ B[1,2]=’12 23 3’ B[1,3]=’2 часа’ B[2,1]=‘*** ***’ B[2,2]=‘vstu.ru’ B[2,3]= ‘2 $’ B[3,1]= ‘- %%№’ B[3,2]= ‘Массив’ B[3,3]= ‘### 1’

Порядок обращения к элементам двумерного массива сходен с порядком обращения к элементам одномерного, т.е. нельзя подвергать изменению целиком весь массив сразу. Для обращения, как это видно выше, в квадратных скобках через запятую указываются координаты элемента по вертикали и горизонтали.

Внекоторых языках программирования счет индексам начинается не с 1

ас 0. В Pascal работа с массивами организованна достаточно просто, и мы можем задавать диапазон изменения индексов в любых границах (даже отрицательных). Но для удобства и однозначности впредь все индексы будем начинать считать с 1.

Еще следует отметить, что наиболее естественными объектами, которые принято хранить в двумерных массивах являются числа. Такие массивы будем называть матрицами, так же как и в математике. И именно на их примере рассмотрим основные алгоритмы обработки этих структур.

6.2 Поэлементная обработка двумерных массивов

Прямая безусловная поэлементная обработка двумерного массива предполагает такую обработку, при которой все его элементы безусловно

Рисунок 6.2 Поэлементная обработка двумерного массива а) и ввод массива б)

просматриваются в порядке возрастания индексов. Индексы можно увеличивать, рассматривая массив по строкам или по столбцам. Блок-схема этого процесса (построчная реализация) представлена на Рисунок 6.2 а).

Самые простые алгоритмы поэлементной обработки массива – это алгоритмы ввода и вывода. Алгоритм ввода или инициализация пользователем представлен на Рисунок 6.2 б). Здесь, поскольку массивы мы объявляем с запасом размерности, следует сначала указать число строк N и количество столбцов M. Массив мы рассматриваем, согласно соглашению, построчно, т.е. во внешнем цикле меняется индекс строки, а во внутреннем – индекс столбца.

writeLn(‘введите число строк’); readLn(N);

writeLn(‘введите число строк’); readLn(M);

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

begin

write(‘A[’, i, ’,’, j, ‘]=’); readLn(A[i,j]);

end;

Вывод массива аналогичен вводу, только если мы будем выводить все элементы подряд, то разные строки сольются между собой. Мы не сможем определить где кончается одна строка и начинается следующая. Для этого нужно после вывода каждой строки принудительно переводить курсор на следующую. Делается это очень просто методом вставки во внешний цикл алгоритма пустой процедуры writeLn:

В качестве примеров прямой обработки всех элементов массива можно привести алгоритм подсчета сумы, произведения, а также изменение всех элементов. Скажем, рассмотрим увеличение всех элементов двумерного массива на некоторую константу x:

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

A[i, j] := A[i, j] + x;

Алгоритм прост, блок-схему приводить не будем.

Далее можно рассмотреть поэлементную обработку всего массива предполагающую анализ элементов. Таковая обработка выражается блоксхемой Рисунок 6.3. В теле внутреннего цикла помещено условие, в случае выполнения которого, происходит действие над элементом A[i,j].

Вот типичная задача на обработку всего двумерного массива с анализом элементов.

ПРИМЕР

Возвести в квадрат все нечетные элементы двумерного массива A. Решении таково (Рисунок 6.5):

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

if odd(A[i,j]) then A[i,j] := sqr(A[i,j]);

Напомним, что odd – логическая функция проверки нечетности. Рассмотрим полностью задачу, которая в предыдущей главе решалась

для одномерных массивов, а именно:

ПРИМЕР

Найти среднее арифметическое четных элементов массива.

Для начала, как это принято, составим тестовый пример:

Сам алгоритм практически такой же, как и в задаче для одномерных массивов отличие здесь в том, что дополнительно добавляется цикл по столбцам (по j). Блок схема алгоритма представлена на (Рисунок 6.6).

Программа будет такова: program massiv2m;

var A:array[1..10,1..10] of integer; i,j,k,N,M:byte;

S:integer;

SrA:real; begin

writeLn('Введите количество элементов в массиве'); readLn(N,M);

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

begin write('A[',i,',',j,']='); readLn(A[i,j]);

end;

S:=0;

k:=0;

for i:=1 to N do for j:=1 to M do

if (A[i,j] mod 2) = 0 then begin

S:=S+A[i,j];

k:=k+1;

end; if k<>0 then

begin

SrA := S/k;

writeLn('Среднее арифметическое: ', SrA:8:2); end

else

writeLn('В массиве нет четных элементов'); end.

Поэлементная обработка массива с анализом может быть представлена некоторыми классическими алгоритмами. Наиболее известные и часто встречающиеся – алгоритмы поиска экстремальных по значению (максимум и минимум). Итак, для примера рассмотрим поиск максимума в двумерном массиве. Алгоритм точно такой же, как и для одномерного массива. Стоит только не забывать, что при просмотре меняются как строки, так и столбцы. Кроме того, нам необходима пара индексов для выяснения точного местоположения элемента с максимальным значением. За координаты отвечают переменные IMax, JMax, а за сам максимум переменная Max (Рисунок 6.8):

Imax :=1;

Jmax :=1;

Max := A[1,1]; for i:=1 to N do

for j:=1 to M do

if A[i,j]>Max then