навчатьный посибник 2

Хвильова оптика

4.3 Приклади розв’язання задач

Приклад 4.3.1. Інтерференцію світлових хвиль вперше спостерігав у 1802 році англійський вчений Т. Юнг. Він пропустив світло через невеликий отвір у непрозорій перешкоді, потім світло, що пройшло через цей отвір, освітлювало щі-

Розв’язання. Нехай в точці С спостерігається максимум з довільним номером m. Координата цієї точки – y. Промінь, що виходить зі щілини А, проходить до точки С шлях L1; промінь, що виходить зі щілини В, проходить до точки С шлях

L2. З трикутників ADC і BEC виразимо шляхи L1 и L2, використовуючи теорему Піфагора:

лин до екрану значно більше відстані d між щілинами, тому можна вважати, щоL2 L1 2L . З урахуванням цього можна рівняння (3) записати в наступному

вигляді:

У точці С спостерігається максимум, тому різниця ходу повинна дорівнювати парному числу півхвиль:

71

Хвильова оптика

де m=0, 1, 2, … порядок максимуму.

Прирівняємо (5) і (6) і отримаємо формулу для розрахунку координат максимумів:

Першим трьом світлим смугах відповідають m=1, 2, 3, оскільки значення m=0 відповідає центральному максимуму.

Підставивши чисельні значення величин у формулу (7), отримаємо y1=1,65 10 3 м, y2=3,3 10 3 м, y3=4,95 10 3 м.

Приклад 4.3.2. На мильну плівку падає біле світло під кутом i=30º до поверхні плівки. При якій найменшій товщині d плівки відбиті промені будуть пофарбо-

вані в жовтий колір ( =600 нм)? Показник заломлення мильної води n=1,33.

Розв’язання. Будемо вважати, що мильна плівка знаходиться в повітрі. З світлової хвилі виділимо вузькі промені 1 і 2 (рис. 4.3). У точці В промінь 1 відбивається від оптично менш густого середовища, тому його фаза коливань не зміниться. У точці С промінь 2 відбивається від оптично більш густого середовища, отже, фаза коливань зміниться на . В результаті між променями 1 і 2 виникає додаткова різниця фаз, що дорівнює . Ця зміна різниці фаз відповідає зміні різниці ходу променів на /2. Таким чином, різниця ходу про-

де кут падіння; n показник заломлення плівки.

З рисунка випливає, що 90 i 60 .

Плівка пофарбована в жовтий колір, значить, для жовтих променів виконується умова максимуму інтерференції. Умова максимального посилення світла при інтерференції в тонких плівках полягає в тому, що оптична різниця ходу

інтерферуючих хвиль повинна дорівнювати парному числу півхвиль:

де m=0, 1, 2, … порядок максимуму.

Прирівняємо праві частини формул (1) і (2) і виразимо d:

72

Хвильова оптика

Приклад 4.3.3. На скляну лінзу об’єктива, вкриту дуже тонкою плівкою, падає нормально паралельний пучок монохроматичного світла довжиною хвилі

=0,6 мкм. Показник заломлення n речовини плівки дорівнює 1,4. Визначити мінімальну товщину d плівки, при якій відбите світло максимально ослаблено внаслідок інтерференції.

Розв’язання. Тонка плівка оточена різними середовищами (рис. 4.4). Луч 1 двічі відбивається від оптично більш густого середо-

Оптична різниця ходу інтерферуючих променів буде визначатися формулою:

де n – показник заломлення плівки. Світло падає нормально, тому кут падіння

=0 , sin0 =0.

Прирівняємо праві частини формул (1) і (2) і виразимо товщину плівки d: 2dn 2m 1 2

73

Хвильова оптика

де m=0, 1, 2, … – порядок інтерференційного мінімуму.

Мінімальної товщині плівки відповідає m=0. В результаті отримаємо:

Підставивши чисельні значення величин у формулу (4), отримаємо dmin=0,11 мкм.

Приклад 4.3.4. На плоско-паралельну плівку з показником заломлення n=1,3 падає нормально паралельний пучок білого світла. При якій найменшій товщині плівки вона буде найбільш прозора для світла з довжиною хвилі =0,5 мкм (блакитне світло)?

Розв’язання. Будемо вважати, що плівка знаходиться в повітрі. З світлової хвилі виділимо вузькі промені 1 і 2 (рис. 4.5). При попаданні на плівку світло частково проходить, частково відбивається від поверхні плівки. В даному випадку спостереження ведеться в прохідному світлі. Луч 1 двічі (у точках В і С) відбивається від оптично менш густого середовища. Тому його фаза коливань не зміниться. Другий промінь проходить через плівку без відбиття. Отже, оптична різниця ходу променів 1 і 2 буде визначатися формулою:

2d n2 sin2 . (1)

де n – показник заломлення плівки. Світло падає нормально, тому кут падіння=0 , sin0 =0. З урахуванням цього формула (1)

Мінімальній товщині плівки відповідає m=1. В результаті отримаємо:

74

де dm – товщина повітряного прошарку в тому місці, де спостерігається кільце під номером m.

У формулі (1) враховано, що показник заломлення повітря в прошарку дорівнює 1.

Бачимо світле кільце, значить має виконатися умова максимального посилення світла:

де m=1 за умовою.

Прирівняємо праві частини формул (1) і (2) і знайдемо товщину шару по-

вітря:

2dm 2m . 2 2

75

Хвильова оптика

Підставивши чисельні значення величин у формулу (3), отримаємо dm=0,15 мкм.

Приклад 4.3.6. На скляний клин нормально до його грані падає монохроматичне світло з довжиною хвилі =0,6 мкм. У виниклій при цьому інтерференційній картині на відрізку довжиною l=1 см спостерігається 10 смуг. Визначити заломлюючий кут клина.

Розв’язання. Клин являє собою тонку плівку змінної товщини. По обидві сторони цієї плівки знахо-

диться однакове середовище. В даному випадку інтерферують промені 1 і 2, відбиті від верхньої і нижньої грані (рис. 4.7). При ма- лих кутах клина відбиті промені будуть практично паралельні.

Для визначеності припусти-

мо, що l – відстань між темними смугами. Довільній темній смузі з номером m відповідає товщина клина dm, а темній смузі з номером (m+10) відповідає товщина клина dm+10 (точки А і В на рис. 4.7). Тоді шуканий кут знайдеться за формулою

Ми врахували, що для малих кутів tg sin (кут виражається в радіа-

нах).

Луч 1 в точках А і В відбивається від оптично більш густого середовища, отже, фаза коливань зміниться на . В результаті між променями 1 і 2 виникає додаткова різниця фаз, що дорівнює . Ця зміна різниці фаз відповідає зміні різниці ходу променів на /2.

При нормальному падінні світла для точки А оптична різниця ходу променів 1 і 2 буде дорівнювати

В формулах (2) і (3) n – показник заломлення плівки (скла).

76

Хвильова оптика

Якщо спостерігаються темні смуги (виконується умова мінімуму), то оптична різниця ходу дорівнює непарному числу півхвиль.

Показник заломлення скла дорівнює 1,5. Підставивши чисельні значення величин у формулу (10), отримаємо

=2 10 4 рад.

Зверніть увагу! Якщо припустити, що l – відстань між світлими смугами, то вийде той же результат. Спробуйте провести викладки самостійно.

Приклад 4.3.7. В інтерферометрі Жамена дві однакові трубки довжиною l=15 см були заповнені повітрям. Показник заломлення n1 повітря дорівнює 1,000292. Якщо в одній з трубок повітря замінити ацетиленом, то інтерференційна картина зміщується на m=80 смуг. Визначити показник заломлення n2 ацетилену, якщо в інтерферометрі використовувалося джерело монохроматич-

ного світла з довжиною хвилі =0,590 мкм.

77

Хвильова оптика

де L1 – оптичний шлях променя, що пройшов через першу трубку, L2 – оптичний шлях променя, що пройшов через другу трубку.

Зміна різниці ходу призводить до зміщення інтерференційної картини. Якщо картина зміщується на m смуг, то це означає, що на місці центральної смуги (m=0) знаходитиметься смуга з номером m=80.

Отже, оптична різниця ходу дорівнює:

Підставивши чисельні значення величин у формулу (3), отримаємо n2=1,000607.

Приклад 4.3.8. На дифракційні ґрати нормально до їх поверхні падає паралельний пучок світла з довжиною хвилі =0,5 мкм. Розташована поблизу ґрат лінза проектує дифракційну картину на плоский екран, віддалений від лінзи на L=1 м (рис. 4.9). Відстань l між двома максимумами інтенсивності першого порядку, які спостерігаються на екрані, дорівнює 20,2 см. Визначити: 1) постійну d дифракційних ґрат; 2) число n штрихів, що припадає на 1 см; 3) число N максимумів, яке при цьому дають дифракційні ґрати; 4) максимальний кут max відхи-

лення променів, відповідних останньому дифракційному максимуму.

Розв’язання. 1). Постійна дифракційних ґрат d, довжина хвилі і кут відхилення променів, відповідних m-му дифракційному максимуму, пов’язані співвідношенням

З рисунку 4.9 випливає, що tg l L/ 2 . З урахуванням цього співвідношення (1) набуде вигляду

78

При розрахунку постійну ґрат d треба підставити в сантиметрах.

3). Для визначення числа максимумів, що виникають, від дифракційних ґрат, обчислимо спочатку максимальне значення порядку дифракційного максимуму mmax, виходячи з того, що максимальний кут відхилення променів ґра-

тами не може перевищувати 90 , тоді sin 1.

Підставивши в (5) чисельні значення величин, отримаємо

mmax 9,9 .

Число m обов’язково повинно бути цілим. Отже, mmax 9 .

Визначимо загальне число максимумів дифракційної картини, отриманої за допомогою дифракційних ґрат. Вліво і право від центрального максимуму спостерігатиметься по однаковому числу максимумів, рівному mmax, тобто всього 2mmax. Якщо врахувати також центральний нульовий максимум, отримаємо загальне число максимумів

4). Максимальний кут відхилення променів відповідає останньому дифракційному максимуму. Використовуючи співвідношення (1), виразимо синус цього кута:

Знайдемо максимальний кут відхилення

Підставивши чисельні значення величин в формули (3), (4), (6), (8), отримаємо d=4,95 мкм; n=2,02 103 см 1; N=19; max=65,4 .

79