навчатьный посибник 2

гію точки, що коливається.

1.29.Тягар масою 400 г робить коливання на пружині жорсткістю 250 Н/м. Амплітуда коливань 15 см. Знайти повну механічну енергію коливань і найбільшу швидкість руху тягаря.

1.30.Математичний маятник довжиною 1 м відводять від положення рівноваги і відпускають. Скільки разів за час 6,28 с кінетична енергія маятника досягає максимального значення?

1.31.В результаті додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань з однаковими амплітудами і однаковими періодами виникає результуюче коливання з тим же періодом і тієї ж амплітудою. Знайти різницю фаз коливань.

1.32.Користуючись методом векторних діаграм, знайти амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, отриманого при додаванні коливань, що надані рівняннями x1 (t) 6cos( t 2) (см) і x2 (t) 8cos t (см). Записати рів-

няння результуючого коливання з числовими коефіцієнтами.

1.33.Два камертона дають 20 биттів за 10 с. Частота коливань одного камертона 256 Гц. Чому дорівнює частота коливань іншого камертона?

1.34.Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних ко-які виражаються рівняннямиливаннях, )y(t 4sin t

(см). Знайти траєкторію результуючого руху точки і накреслити її з нанесенням масштабу.

1.35. Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями x(t) 2cos t (см) и y(t) sin t (см).

Знайти траєкторію результуючого руху точки і накреслити її з нанесенням масштабу.

1.36. Чому дорівнює коефіцієнт загасання коливань, якщо диференціаль-

А0=5 см, а початкова фаза коливань 0= .

1.37. Знайти логарифмічний декремент загасання математичного маятника, якщо за 1 хвилину амплітуда коливань зменшилася в 2 рази. Довжина маятника l=1 м.

1.38. Початкова амплітуда коливань маятника А0=21 см, амплітуда після 10 повних коливань дорівнює А10=1 см. Визначити коефіцієнт загасання і логарифмічний декремент загасання, якщо період коливань дорівнює 5 с. Записати рівняння коливань.

31

Механічні коливання

Достатній рівень

1.39.На рис. 1.39 зображено графік залежності швидкості тіла від часу. Запишіть рівняння залежності прискорення тіла від часу з числовими коефіцієнтами.

1.40.Тягар, підвішений на пружині, здійснює вертикальні коливання з періодом 0,6 с. При іншій масі період коливань

1.41.Підставка, прикріплена до пружини, здійснює вертикальні коливання з періодом 0,8 с. Якщо на підставку покласти тягар, то період коливань стане рівним 1 с. На скільки подовжилася пружина після додавання тягаря?

1.42.Мідна кулька, що підвішена до пружини, здійснює вертикальні коливання. Як зміниться період коливань, якщо до пружині підвісити замість мідної кульки алюмінієву такого ж радіусу?

1.43.Диск радіусом 0,4 м коливається у вертикальній площині відносно горизонтальної осі. Вісь перпендикулярна диску і проходить через його край. Як зміниться період коливань диска, якщо вісь перенести до центру паралельно самій собі на відстань, рівну 1/4 радіуса, від колишнього положення.

1.44.Як зміниться амплітуда коливань математичного маятника, якщо нитку вкоротити в n=4 рази при незмінній енергії маятника?

1.45.Людина масою 80 кг гойдається на гойдалках. Амплітуда її коливань 1 м. За одну хвилину вона здійснює 15 коливань. Знайти кінетичну і потенціальну енергію через 1/12 періоду. Систему вважати математичним маятником.

1.46.Точка здійснює гармонічні коливання, рівняння яких має вигляд:

x(t) Acos t , де А=5 см, =2 с 1. У момент, коли на точку діяла сила 5 мН, то-

чка мала потенціальну енергією 0,1 мДж. Знайти момент часу і відповідну йому фазу коливань.

1.47.Набрякла колода, перетин якої постійний по всій довжині, занурилася вертикально в воду так. що над водою знаходиться лише мала (в порівнянні з довжиною) її частини. Період коливань колоди дорівнює 5 с. Знайти довжину колоди.

1.48.Знайти амплітуду А і початкову фазу 0 гармонічного коливання, отриманого від додавання однаково спрямованих коливань, що описуються рівняннями x1(t) 4sin t (см) і x2 (t) 3cos t (см). Написати рівняння результу-

ючого коливання. Дати векторну діаграму складання амплітуд. 1.49. Биття виникають при додаванні двох коливань:

x(t)1 cos 4999 t (см) і x(t)2 cos5001 t (см) . Знайти період биття і умовний

період майже гармонічного коливання.

1.50. Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що описуються рівняннями: x(t) 2sin t (см), y(t) cos t (см).

32

Механічні коливання

Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати її з дотриманням масштабу. Вказати напрямок руху і визначити швидкість і прискорення точки в момент часу t=0,5 с.

1.51. Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що описуються рівняннями: x(t) sin 0,5 t (см), y(t) cos t (см).

Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати її з дотриманням масштабу.

1.52.Амплітуда загасаючих коливань математичного маятника за час t=1 хв зменшилася вдвічі. У скільки разів зменшиться амплітуда за час t1=3 хв?

1.53.Тіло масою m=5 г здійснює загасаючі коливання. Протягом часу t=50 с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору r.

1.54.Знайти число N повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася в n=2 рази. Логарифмічний декремент загасання коливань

=0,01.

1.55. Математичний маятник довжиною 0,5 м, виведений з положення рівноваги, відхилився при першому коливанні на 5 см, при другому (в ту ж сто-

рону) на 4 см. Знайти час релаксації (час, протягом якого амплітуда коливань

зменшиться в е раз) . е основа натуральних логарифмів.

1.56. Тягар масою m=0,1 кг підвішений на пружині з коефіцієнтом жорсткості 10 Н/м. На тягар діє збуджувальна сила, яка описується рівнянням F 2cos8t (Н). Коефіцієнт загасання =0,5 с–1. Записати рівняння сталих коливань.

1.57.Період власних коливань пружинного маятника дорівнює Т1=0,5 с. У в’язкому середовищі період загасаючих коливань цього ж маятника став рівним

Т2=0,56 с. Визначити при якій частоті збуджувальної сили, прикладеній до маятника, амплітуда його коливань в цьому середовищі стане максимальною.

1.58.Через струмок перекинута довга вузька дошка. Коли пішохід стоїть на ній нерухомо, вона прогинається на 10 см. Коли ж він іде по ній із швидкістю 3,6 км/год, то дошка починає розгойдуватися так, що він падає у воду. Яка довжина кроку пішохода?

33

Електромагнітні коливання

§2 Електромагнітні коливання

2.1Основні теоретичні відомості

1.Коливальний контур електричне коло, що містить індуктивність L, ємність С і опір R. У коливальному контурі без активного опору (R=0)

(рис. 2.1) відбуваються гармонічні коливання з частотою 0, яка називається власною частотою. Власні коливання заряду на обкладинках конденсатора відбуваються за законом:

де L – індуктивність котушки;

С – електроємність конденсатора.

Період коливань в коливальному контурі визначається за формулою Томсона

3. Напруга на конденсаторі відрізняється від заряду множником 1/C:

Диференціюючи функцію q(t) за часом, отримаємо вираз для сили струму:

коливання заряду на обкладинках конденсатора відбуваються за законом:

34

називається повним опором кола змінного струму.

ємнісний опір.

35

Електромагнітні коливання

7. Амплітуда сили струму при вимушених коливаннях досягає максимального значення, якщо частота збуджувальної ерс збігається з частотою власних коливань. Резонансна циклічна частота р, яка відповідає максимуму амп-

літуди сили струму в контурі, не залежить від активного опору R:

8. Ефективні (діючі) значення сили струму Ieф і напруги Ueф пов’язані з

амплітудними значеннями сили струму і напруги наступними співвідношеннями:

9. Енергія електромагнітних коливань

де L – індуктивність котушки;

С – електроємність конденсатора.

2.2 Алгоритми розв’язання задач та методичні поради

Методи розв’язання задач на електромагнітні коливання подібні методам розв’язування задач на механічні коливання. Основою цієї схожості є однакова структура рівнянь, що описують обидва ці види коливань. Рівняння (2.1) аналогічно рівнянню (1.3), (2.7) – рівнянням (1.17), (2.9) – рівнянням (1.23). При цьому заряд q відповідає координаті x, індуктивність L – масі m, електроємність C

– величині, зворотній коефіцієнту квазіпружної сили k.

Циклічна частота загасаючих коливань завжди менше власної циклічної частоти коливань. Таким чином, наявність активного опору призводить до зменшення частоти і збільшення періоду коливань. Якщо опір невеликий, то цією зміною можна знехтувати і розраховувати частоту за формулою

Це можна робити в тому випадку, якщо виконується нерівність 0 .

2.3 Приклади розв’язання задач

Приклад 2.3.1. Коливальний контур складається з конденсатора електроємністю С=25 нФ і котушки індуктивністю L=1,015 Гн. У початковий момент часу заряд конденсатора qmax=2,5 мкКл. Написати з числовими коефіцієнтами рівняння залежності напруги на обкладинках конденсатора і сили струму в колі від часу.

36

Електромагнітні коливання

Розв’язання. Значення активного опору коливального контуру не вказано, тому припускаємо, що воно дорівнює нулю. Це означає, що напруга на обкладинках конденсатора і струм в колі будуть змінюватися по гармонічному закону. Запишемо рівняння залежності напруги від часу в загальному вигляді:

де L – індуктивність котушки;

C – електроємність конденсатора.

За визначенням електроємність конденсатора визначається наступним чином:

Проведемо проміжні розрахунки, підставивши чисельні значення величин у

формули (2) і (4). Отримаємо: 0=6,3 103 рад/с, Umax=100 В.

Запишемо рівняння залежності напруги на обкладинках конденсатора від часу з числовими коефіцієнтами. Початкова фаза 0 дорівнює нулю, оскільки при

t 0 q qmax , U U max .

U (t) 100 cos 6,3 103 t (В).

Сила струму за визначенням дорівнює похідній заряду за часом:

З формули (3) випливає, що заряд на обкладинках конденсатора визначається виразом

37

Електромагнітні коливання

де qmax imax – амплітудне значення сили струму.

Розрахуємо амплітудне значення сили струму, підставивши чисельні значення

величин: imax=15,75 10 3 A=15,75 мA.

Запишемо рівняння залежності сили струму від часу з числовими коефіцієнтами:

i(t) 15,75sin 6,3 103 t (мA).

Приклад 2.3.2. Рівняння зміни з часом сили струму в коливальному контурі має вигляд i(t) 0,02sin 400 t (А). Індуктивність контуру L=1 Гн. Знайти пе-

ріод коливань і електроємність контуру. Написати з числовими коефіцієнтами рівняння залежності енергії магнітного й електричного полів від часу.

Розв’язання. Порівняємо рівняння залежності сили струму від часу, записане з числовими коефіцієнтами, з рівнянням, записаним в загальному вигляді (це рівняння отримано в попередній задачі):

На підставі порівняння визначаємо амплітудне значення сили струму і циклічну частоту коливань:

imax=0,02 А, 0=400 рад/с.

Період коливань пов’язаний з циклічною частотою співвідношенням:

Для знаходження електроємності можна використовувати вираз для циклічної частоти коливань:

Підставимо в формулу (5) рівняння (1), що описує закон зміни струму. отримаємо:

38

За елементарний час dt через перетин провідників контуру пройде заряд dq.

Підставимо (9) в формулу (7), отримаємо рівняння, що описує зміну енергії електричного поля конденсатора:

Розрахуємо значення періоду та ємності, підставивши чисельні значення у формули (2) і (4). Отримаємо:

T 0,005 с 5 мс, C 6,3 10 7 Ф =0,63 мкФ.

Розрахуємо амплітудні значення енергій, підставивши чисельні значення у формули (6) і (10). отримаємо:

Wмmax 2 10 4 Дж 0,2 мДж, Wэлmax 2 10 4 Дж 0,2 мДж.

Запишемо рівняння зміни енергій, підставивши значення величин у фор-

мули (6) і (10):

Зверніть увагу! Амплітудні значення енергій мають однакові значення. Це означає, що повна енергія контуру зберігається, оскільки активний опір коливального контуру дорівнює нулю.

39

Електромагнітні коливання

Приклад 2.3.3. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю L=1,6 мГн і конденсатора електроємністю С=0,04 мкФ. Максимальна напруга Umax на затискачах конденсатора дорівнює 200 В. Визначити максимальну силу струму Imax в контурі. Опором контуру знехтувати.

Розв’язання. Дану задачу можна розв’язати двома способами. Перший заснова-

ний на дослідженні рівняння електромагнітних коливань, другий на законі збереження енергії.

Спосіб 1. Якщо опір коливального контуру нехтовно малий, то в коливальному контурі виникають гармонічні коливання. При цьому

Сила струму дорівнює похідній заряду за часом. Диференціюючи рівняння (1) за часом, одержимо рівняння для сили струму в контурі:

Величина imax 0qmax є амплітудою сили струму, тобто максимальним значенням сили струму в контурі. Циклічна частота коливань

Враховуючи, що qmax CU max , визначимо шукану величину:

40