Задание к лабораторной работе

Исходные данные: граф G1: GV(13,{6,7})

граф G2: GV(7,{2,3}).

Ребра графа G2 взвешены соответствующими элементами матрицы Y.

Алгоритм генерации варианта GV(p,X) описан в приложении А.

1. Определить, является ли граф G1 связным.

2. Для максимальной компоненты графа G1:

1. выделить маршрут не цепь, замкнутый маршрут не цепь, цепь, простую цепь, цикл, простой цикл;

б) определить обхват и окружение;

в) найти вершинную и реберную связность.

3. Для каждой компоненты графа G1:

а) построить матрицу расстояний, определить эксцентриситеты вершин, радиус, диаметр, центр, периферию, диаметральную цепь;

б) определить, является ли она неразделимой, выделить блоки, найти точки сочленения и мосты.

4. В графе G2

а) построить кратчайшие маршруты от произвольной вершины ко всем остальным при помощи алгоритма Дейкстры;

б) построить кратчайшие маршруты от произвольной вершины ко всем остальным при помощи алгоритма Форда;

в) построить кратчайшие маршруты при помощи алгоритма Флойда. При построении вести две матрицы – матрицу маршрутов и матрицу расстояний;

Контрольные вопросы

1. Привести пример графа, удовлетворяющего строгому неравенству теоремы Уитни.

2. Привести примеры графов, которые имеют все периферийные и все центральные вершины.

3. Что такое эксцентриситет?

4. Чем диаметр графа отличается от его радиуса(дайте их определения)?

5. Что такое маршрут?

6. Что такое число рёберной связности?

7. Дайте определения моста и цикла.

Лабораторная работа №3

Деревья и остовы неориентированных графов

Цель работы: приобретение практических навыков в работе с деревьями неориентированных графов, изучение различных алгоритмов нахождения остовов кратчайших маршрутов.

Теоретическая справка

Дерево– связный граф, не содержащий циклов.

Лес (ациклический граф) – произвольный граф, не содержащий циклов. Компонентами леса являются деревья.

Теорема о дереве (5 различных определений дерева).

Для любого p,q – графа Gследует, что утверждения (1-5) эквивалентны:

1. Граф G – дерево, связный ацикличный граф.

2. Любые две несовпадающие вершины графа G соединены единственной простой цепью.

3. Граф G связен и количество ребер в нем на 1 меньше, чем количество вершин.

4. Граф G ацикличен: q=p-1, p=q+1.

5. Граф G ацикличен, и если любую пару его несовпадающих несмежных вершин соединить ребром е, то полученный граф G+e будет содержать ровно один цикл.

Теорема о висячих вершинах дерева. В любом нетривиальном (p2) дереве имеется, по крайней мере, 2 висячие вершины.

Теорема о центре дерева. Центр любого дерева состоит либо из 1, либо из 2 смежных вершин.

Ярусная форма представления деревьев

Пусть существует вершина v₀ - корень графа G=(V,E), v₀V. Эту вершину сориентируем. На i-й ярус помещаются вершины с расстоянием от корня, равным i. Концевые висячие вершины будем называть листами, а геодезические от корня к листу называют кустом.

Двоичные деревья (b – деревья) – это деревья, у которых степени любых не концевых вершин равны 2.

Пример: