Условные приоритеты операций над множествами

С целью упрощения записи формул принято руководствоваться следующим правилом экономии скобок:

при отсутствии скобок порядок выполнения операций над множествами определяется последовательностью:

, \ ,   ,  .

Алгебра множеств

(теоретико-множественный аналог алгебры действительных чисел)

Алгебра множеств – совокупность тождеств, справедливых независимо от того, какое универсальное множество и какие именно его подмножества входят в эти равенства.

Основные законы алгебры множеств

1) Коммутативные (переместительные) законы

А  В = В  А

А  В = В  А

А  В = В  А

2) Ассоциативные (сочетательные) законы

А  (В  С) = (А  В)  С

А  (В  С) = (А  В)  С

3)Дистрибутивные (распределительные) законы

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

4)Законы с  и U

А   = А А  U = А А =U

А   =  А  U = U А =

= =U

6) Законы идемпотентности

А  А = А А  А = А =А

7) Законы поглощения

А  (А  В) = А

А  (А  В) = А

8) Законы де Моргана

= 

= 

9) Законы склеивания

(А  В)  ( В) = В

(А  В)  ( В) = В

Лекция №2: Теория отношений

Кортеж, набор, вектор – упорядоченная последовательность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место.

Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора.

Число координат вектора называется длиной или размерностью вектора.

–пустой кортеж,

–одноэлементный кортеж,

–пара, двуэлементный кортеж,

–кортеж длины n или n-ка (“энка”).

Прямое (декартово) произведение множеств – множествовсевозможных упорядоченных наборов, таких,чтопервый элемент принадлежит множеству , второй – множеству ,-й – множеству :

.

Декартово произведение , в котором одно и тоже множествоумножаетсяраз само на себя – декартова степень множества :.

Прямое (декартово) произведение множеств Х и Y– множествовсевозможных упорядоченныхпар(двуэлементных кортежей), таких что:

Х x Y = {(x,y) | xX, yY}.

При множество называется декартовой степенью множестваX и обозначается X².

Например:

Пусть ,, тогда,.

–множество точек плоскости, –множество точек -мерного пространства.

Шахматная доска: ,,

Некоторые свойства прямого произведения:

1)

2) ;

3)

4)

- арное отношение на множествах – это всякое, произвольное подмножество декартова произведения этих множеств:

Если набор элементов принадлежит отношению, то говорят, что элементынаходятся в отношении

- арное отношение на множестве – это всякое, произвольное подмножество - й декартовой степени этого множества:

Бинарное отношениена множествахXиY– произвольное подмножествопрямого произведения двух множеств:

  Х x Y= {(x,y) | xX,yY}.

Если   Х², то говорят, что отношение  задано на множестве Х.

Если (x,y), то говорят, что (x,y) находятся в отношении  или связаны отношением : х  y или y = (х).

Область определения D_ бинарного отношения– множество первых координат каждой упорядоченной пары отношения :

D_ = { x | (x,y)   }.

Область значений J_ бинарного отношения – множество вторых координат каждой упорядоченной пары отношения :

J _ = { y | (x, y)   }.