Условные приоритеты булевых функций

Каждая булева функция имеет свой приоритет при выполнении элементарных функций.

Таблица 3. Условные приоритеты булевых функций

1. ( )

2. отрицание ()

3. & 

4.    ≡

Замечание. В пределах одного приоритета операции в выражении выполняются слева направо.

Фиктивные аргументы фал

Две ФАЛ f₁(x₁, x₂, … , x_n)иf₂(x₁, x₂, … , x_n)называютсяравными, если они принимают одинаковые значения на всех возможных наборах аргументов.

ФАЛ называется существенно зависящей от аргументаx_i, если имеет место неравенство:

f₁(x₁, x₂, … , x_i-1, 0, x_i+1, … , x_n) 

 f₂(x₁, x₂, … , x_i-1, 1, x_i+1, …, x_n).

В противном случае говорят, что функция несущественно зависит от x_i, и x_iявляется еефиктивным аргументом.

ФАЛ не изменится, если к ее аргументам приписать или вычеркнуть любое количество фиктивных аргументов.

Алгоритм нахождения фиктивных аргументов

Для нахождения фиктивных аргументов необходимо задать ФАЛ таблично:

1. Разбить множество наборов аргументов ФАЛ на 2 подмножества: 1-е подмножество, на котором функция принимает значение 0, и 2-е подмножество, где функция принимает значение 1, соответственно множества Т₀ и Т₁.

2. Для проверки фиктивности аргумента x_i вычеркиваем столбец, который ему соответствует, и проверяем, не появились ли в двух подмножествах одинаковые наборы. Если такие наборы не появились, то x_i является фиктивным.

Законы булевой алгебры
Коммутативность Ассоциативность Дистрибутивность Идемпотентность Закон отрицания отрицания Закон исключающего третьего Закон противоречия	Свойства констант Законы де Моргана Законы поглощения Правила склеивания Обобщенное склеивание Правило вычеркивания
Свойства , ,
Свойства импликации Свойства 	Свойства функций Шеффера и стрелки Пирса Функции  и  связаны соотношениями аналогичными формулам де Моргана

Выражение одних элементарных функций через другие

Аналитическая запись ФАЛ

Рассмотрим методы перехода от табличного способа задания функций к аналитическому методу (в виде формул).

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Конъюнкция называется элементарной, если в ней каждая переменная встречается не более одного раза.

Дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (ДСНФ)

Любая таблично заданная ФАЛ f(x₁, x₂, …, x_n) (кроме тождественного нуля) может быть представлена в следующем аналитическом виде:

Представление ФАЛ в таком виде называется дизъюнктивной совершенной нормальной формойэтой функции (ДСНФ).

Алгоритм перехода от табличного задания функции к ДСНФ

1. Выбрать в таблице все наборы аргументов, на которых функция обращается в единицу.

2. Выписать конъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов. При этом, если аргумент x_iвходит в данный набор как 1, он вписывается без изменения в конъюнкцию, соответствующую данному набору. Еслиx_iвходит в данный набор как 0, то в конъюнкцию вписывается его отрицание.

3. Полученные конъюнкции соединить операцией дизъюнкция.

Конъюнктивная совершенная нормальная форма

Любая таблично заданная ФАЛ f(x₁, x₂, …, x_n)(кроме тождественной единицы) может быть представлена в следующем аналитическом виде:

Представление ФАЛ в таком виде называется конъюнктивной совершенной нормальной формойэтой функции (КСНФ).

Алгоритм построения конъюнктивной совершенной нормальной формы

1. Выбрать в таблице все наборы аргументов, на которых функция обращается в 0.

2. Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов. При этом, если аргумент x_i входит в данный набор как 0, он вписывается без изменения в дизъюнкцию, соответствующую данному набору. Еслиx_iвходит в данный набор как 1, то в дизъюнкцию вписывается его отрицание.

3. Полученные дизъюнкции соединить знаком конъюнкция.

Полные системы ФАЛ

Система ФАЛ {f₁, f₂,…, f_n} называется полной в некотором классе функций,если любая функция из этого класса может быть представлена суперпозицией этих функций.

Система ФАЛ, являющаяся полной в некотором классе функций, называетсябазисом.

Минимальным базисом называется такой базис, для которого удаление хотя бы одной из функцийf_i,которые его образуют, превращает эту систему функций в неполную.

Любая функция может быть представлена с помощью элементарных функций {¬, &, }. Эта система ФАЛ образует универсальный базис.

Наиболее популярными в алгебре логики являются базисы{,¬},{&,¬}, {},{|}, которые являются минимальными.