Отношения на множествах

Множества А и В называются равными или тождественно равными, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов(обозначается А = В или А ≡ В).

Множества А и В называются равными или тождественно равными, тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А есть элемент множества В и наоборот, иначе множества не равны (А ≠ В).

Если каждый элемент множестваА является также элементом множестваВ, то говорят, чтоА содержится или включается в В. В этом случае пишутА В.

Множество A – подмножество множества B, если A  B.

В тех случаях, когда одновременно имеют место соотношения A B иA B(причем последнее особенно хотят подчеркнутьв явном виде), говорят, чтоA строго включается вB, и используют записьAB.

Строгое включение означает, что AB и во множестве В существует хотя бы один элемент, который не принадлежит А.

Множества А и В называются равными, т. и т.т., когда A  B и В  А.

Свойства подмножеств:

1)Пустое множество является подмножеством любого множества: Ø  А.

2)Само множество является своим подмножеством: А  А.

3)Любое множество является подмножеством соответствующего универсального множества: A  U.

4)Для любого множества А его подмножествами являются пустое множество  и само множество А.

Эти подмножества принято называть несобственными, а все отличные от них подмножества — собственными.

Булеан

Рассмотрим конечное множество, |А|=n.

Множество всех, всевозможных подмножеств конечного множества А называют множеством-степенью или булеаном и обозначают Ρ(А).

Теорема: для любого множестваА, состоящего изn элементов существует различных подмножеств, т.е. .

Графическое представление множеств

Для наглядного изображения соотношений между подмножествами некоторого универсума используют круги Эйлера (диаграмм Венна). Универсум изображается множеством точек плоскости, ограниченных прямоугольником, а его подмножества - в виде кругов (любых простых областей, ограниченных замкнутой линией) внутри этого прямоугольника. Множество-результат выделяют штриховкой.

Операции над множествами

Объединение множеств A и B (обозначается A  B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е.

A B

A  B = а  а  A или а  B.

Пересечение множеств A и B (обозначается А ∩ B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е.

A B

А ∩ B = а а  А и а  B.

A B

Р азность множеств А и B (обозначается А \ B) – множество, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, т.е.

А \ B =а а  А и а  B.

Дополнениемножества А в универсальном множестве U(обозначается ,А)– множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е. А = U \ A.

Симметрическая разность множеств A и B (обозначается A  B или A  B) – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.

AB  а либо а  A и а  B, либо а  A и а  B

AB = (A \ B)  (B \ A) = (A  B) \ (A  B)