Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методчика - Орграфы.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
183.3 Кб
Скачать

Маршруты в орграфах

Ориентированный маршрут(ормаршрут) – конечная чередующаяся последовательность вершин и дуг графа таких, что каждая дуга исходит из предыдущей вершины и заходит в последующую вершину ai= (vi-1 , vi) :

Орцепь – ориентированный маршрут без повторяющихся дуг.

Путь –цепь без повторяющихся вершин .

Ориентированный цикл – замкнутая ориентированная цепь.

Контур – замкнутый путь или замкнутый маршрут без повторения дуг и вершин(кроме, возможно, крайних).

Длина ориентированного маршрутачисло дуг, составляющих маршрут, с учетом повторения.

Полумаршрут (маршрут основания) – последовательность вершин и дуг орграфа, что ai= (vi-1 , vi) или (vi , vi+1).

Аналогично вводятся понятия полуцепь, полупуть, полуконтур.

Типы связности графа

Вершина vграфаG достижимаиз вершиныu, если существует (u,v)- маршрут вG, соответственно вершинаuконтрдостижима для вершины v. Любая вершина считается достижима для самой себя.

Вершины v иuграфаG взаимнодостижимы, если вершина v достижима для вершины u, и вершина u достижима для вершины v.

Орграф G – сильносвязный (сильный), если любые две вершины в нём взаимнодостижимы.

Орграф G – одностороннесвязный (односторонний), если для каждой пары его вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Орграф G – слабосвязный (слабый), если любые две его вершины соединены полумаршрутом (полупутем).

Орграф G – несвязен, если несвязно его основание.

Сильная компонента – максимальный относительно включения сильный подграф исходного орграфа.

Односторонняя компонента – максимальный относительно включения односторонний подграф исходного орграфа.

Слабая компонента – максимальный относительно включения слабый подграф исходного орграфа.

Например:

Слабый орграф

Орграф является сильным тогда и только тогда, когда в нём есть остовный циклический маршрут.

Орграф является односторонним тогда и только тогда, когда в нём есть остовный маршрут.

Орграф является слабым тогда и только тогда, когда в нём есть остовный полумаршрут.

Остовный маршрут– маршрут, содержащий все вершины исходного графа.

Конденсация орграфа

Конденсация орграфа G – орграфG*,вершиныS1, S2, …, Sm которого соответствуют сильным компонентам орграфаGи дуга (Si, Sj) принадлежит орграфу G* тогда и только тогда, когда в G существует дуганачало которой находится в сильной компоненте Si, конец – вSj.

Например:

Конденсация G* любого орграфа не имеет контуров.

Алгоритм построения конденсации

  1. Построим матрицу достижимости орграфа G.

R=||rij||, где i,j = 1..p .

1, еслиi достижима для j;

rij =

0, иначе

Построим матрицу контрдостижимости

Q=||qij||,где i,j= 1..p , Q = RT.

1, если i контрдостижима для j;

qij =

0, иначе.

  1. Найдем матрицу взаимной достижимости, где “ *– оператор поэлементного умножения матриц.

S=R*Q=R*RT,

sij=rij*qij , i,j = 1..p.

  1. Выберем некоторую вершину viV,тогда сильная компонента орграфа, содержащаяvi, определяется единичными элементамиi-той строки матрицыS, или перестановкой строк и столбцов можно привести матрицуSк блочно-диагональному виду, где каждый блок будет соответствовать некоторой сильной компоненте орграфаG.

Например:

Задан граф G. Построить конденсациюG*.

Решение:

Матрица достижимости RG :

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

0

1

1

1

1

1

2

1

1

0

1

1

1

1

1

3

1

1

1

1

1

1

1

1

4

1

1

0

1

1

1

1

1

5

1

1

0

1

1

1

1

1

6

0

0

0

0

0

1

1

1

7

0

0

0

0

0

1

1

1

8

0

0

0

0

0

0

0

1

Матрица контрдостижимости QG :

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

0

0

0

2

1

1

1

1

1

0

0

0

3

0

0

1

0

0

0

0

0

4

1

1

1

1

1

0

0

0

5

1

1

1

1

1

0

0

0

6

1

1

1

1

1

1

1

0

7

1

1

1

1

1

1

1

0

8

1

1

1

1

1

1

1

1

Матрица взаимной достижимостиSG:

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

0

1

1

0

0

0

2

1

1

0

1

1

0

0

0

3

0

0

1

0

0

0

0

0

4

1

1

0

1

1

0

0

0

5

1

1

0

1

1

0

0

0

6

0

0

0

0

0

1

1

0

7

0

0

0

0

0

1

1

0

8

0

0

0

0

0

0

0

1