Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичні вказівки до курсової роботи з дисципліни 'Алгоритмізація розрахунків в хімічній технології'

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.21 Mб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до курсової роботи з дисципліни

«Алгоритмізація розрахунків в хімічній технології»

для студентів напряму підготовки 6.051301 «Хімічна технологія»

Розглянуто на засіданні кафедри хімічної технології палива, протокол № 1 від 6.09.2010 р.

Затверджено на засіданні навча- льно-видавничої ради ДонНТУ, протокол № 1 від 13.01.2011 р.

Донецьк, 2011 р.

2

Методичні вказівки до курсової роботи з дисципліни «Алгоритміза-

ція розрахунків в хімічній технології» ( для студентів напряму підготов-

ки 6.051301 «Хімічна технологія») / Складачі: О.І. Збиковський, Є.І.

Збиковський. – Донецьк, ДонНТУ, 2011. – 18 с.

В методичних вказівках приведені тема, ціль і задачі, які вирішує курсова робота. Сформульована постанова задачі, яку повинні розв’язати студенти, дані вказівки по побудові алгоритму і комп’ютерної програми. Приведений зміст курсової роботи. Викладена сутність чисельних методів інтегрування, за допомогою яких треба розв’язати поставлену задачу. Приведені 40 варіантів завдання і перелік рекомендованої літератури. У додатку приведені перелік, найменування, позначення і розміри основних блочних символів, що використовуються для складання блок-схем.

Складачі: О.І. Збиковський, доц. каф. ХТП Є.І. Збиковський, доц. каф. ХТП

Відповідальний за випуск: Л.Ф. Бутузова, проф., зав. каф. ХТП

3

1 ТЕМА І ЦІЛЬ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Навчальними планами для студентів напряму підготовки 6.051301

передбачено виконання курсової роботи з дисципліни «Алгоритмізація

розрахунків в хімічній технології».

Тема курсової роботи: «Чисельне інтегрування методами прямокутників, трапецій, Сімпсона і Монте-Карло».

Ціль курсової роботи – вивчити сутність чисельного інтегрування методами прямокутників, трапецій, Сімпсона і Монте-Карло, скласти блок-схему алгоритму розрахунку і програму розрахунку на мові Turbo Pascal 7.0 визначеного інтегралу цими методами, виконати розрахунок визначеного інтегралу за допомогою складеної програми, провести аналіз отриманих результатів.

Задачі курсової роботи – навчити студентів чисельному інтегруванню методами прямокутників, трапецій, Сімпсона і Монте-Карло з використанням комп’ютера:

-оволодіти сутністю методів;

-скласти блок-схему алгоритму і програму розрахунку на мові

Turbo Pascal 7.0;

-провести налагодження програми і виконати розрахунок визначеного інтегралу;

-проаналізувати отримані результати і зробити висновки.

2 ПОСТАНОВА ЗАДАЧІ

b

Необхідно розрахувати визначений інтеграл f (x) dx із заданою

a

похибкою методами прямокутників, трапецій, Сімпсона і МонтеКарло.

Алгоритм розрахунку за кожним методом треба побудувати наступним чином:

1)для розрахунку першого приблизного значення інтеграла відрізок інтегрування розбивається на n рівних частин (для методу Монте-Карло береться n випадкових точок);

2)значення n збільшується в 2 рази, після чого розраховується наступне приблизне значення визначеного інтегралу;

3)розраховується модуль різниці поточного і попереднього значень визначеного інтеграла і порівнюється із заданою похибкою

:

4

-якщо модуль різниці менше або дорівнює , то вважається, що інтеграл розрахований із заданою похибкою (тобто розрахунок закінчується);

-якщо модуль різниці більше , то розраховується наступне приблизне значення інтеграла (тобто здійснюється повернення на

пункт 2).

Розрахунок за кожним методом в алгоритмі представити у вигляді окремої підпрограми з набором наступних формальних параметрів:

а – ліва межа відрізка інтегрування; b – права межа відрізка інтегрування;

n – кількість рівних частин, на яку розбивається відрізок інтегрування (для методу Монте-Карло кількість випадкових точок) ;

– задана похибка.

Результати розрахунку за кожним методом представити у вигляді таблиці, перша колонка якої повинна містити значення n, а друга – розраховане приблизне значення інтеграла при відповідному значенні n.

Скласти програму і два модулі на мові Turbo Pascal 7.0: перший модуль використати для зберігання оголошень змінних, констант і користувальницьких типів, другий – для зберігання підпрограм.

В програмі організувати файлове введення вихідних даних і файлове виведення результатів.

3 ЗМІСТ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Вступ 1 Постанова задачі

2 Сутність методів чисельного інтегрування, їх похибка

2.1 Метод лівих прямокутників

2.2 Метод правих прямокутників

2.3 Метод середніх прямокутників

2.4 Метод трапецій

2.5 Метод Сімпсона

2.6Метод Монте-Карло

2.7Похибка методів

3Блок-схема алгоритму розрахунку

4Ідентифікації змінних

5Програма розрахунку на мові Turbo Pascal 7.0

6Вихідні дані і результати розрахунку

7Аналіз результатів

Висновки Перелік посилань

5

4 СУТНІСТЬ МЕТОДІВ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ

Потрібно розрахувати визначений інтеграл:

.

Відомо, що для неперервної на відрізку , функції визначений інтеграл можна розрахувати за формулою Ньютона-Лейбніца:

= − ,

де ( ) – первісна функції ( ).

Необхідність застосування чисельного інтегрування найчастіше може бути викликана відсутністю у первісної функції подання в елементарних функціях і, отже, неможливістю аналітичного обчислення значення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца. Також можлива ситуація, коли вид первісної настільки складний, що швидше обчислити значення інтеграла чисельним методом.

Чисельне інтегрування – обчислення значення визначеного інтеграла (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції – фігури, обмеженої віссю абсцис, прямими = і = і графіком підінтегральної функції

( ) (рис. 4.1).

Рисунок 4.1 – Криволінійна трапеція

6

Сутність більшості методів обчислення визначеного інтегралу полягає в апроксимації підінтегральної функції ( ) функцією ( ), для якої легко можна записати первісну в елементарних функціях і обчислити інтеграл аналітично:

 

 

= + = + ,

 

 

де = – приблизне значення інтегралу,

R– похибка обчислення інтегралу.

Взалежності від способу апроксимації підінтегральної функції методи чисельного інтегрування поділяються на групи.

Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона відносяться до групи методів Ньютона-Котеса, в основі яких лежить апроксимація підінтегральної функції ступеневим багаточленом. Методи відрізняються один від одного ступенем використаного багаточлена, від якого залежить кількість вузлів, в котрих необхідно розрахувати підінтегральну функцію ( ).

Вгрупі методів Монте-Карло вузли, в яких розраховується значення підінтегральної функції ( ), вибираються за допомогою генератора випадкових чисел. При цьому значення розрахованого інтеграла має імовірнісний характер.

4.1 Методи прямокутників

В методах прямокутників підінтегральна функція ( ) апроксимується ступеневим багаточленом нульового ступеня = 0 0, тобто горизонтальною прямою.

Наближене значення визначеного інтеграла розраховується як площа прямокутника, одна зі сторін якого є відрізком інтегрування, а інша – значенням функції в лівій межі відрізка інтегрування для методу лівих прямокутників, в правій межі відрізка інтегрування для методу правих прямокутників і в середині відрізка інтегрування для методу середніх прямокутників (рис. 4.2 – 4.4).

7

R

=

S

a

h

b

 

 

Рисунок 4.2 – Метод лівих прямокутників

=

S

a

h

b

 

 

Рисунок 4.3 – Метод правих прямокутників

=

S

a

 

 

 

b

Рисунок 4.4 – Метод середніх прямокутників

8

Формула лівих прямокутників для одного відрізка:

= − ∙ ( ) + = ∙ ( ) + .

Формула правих прямокутників для одного відрізка:

= − ∙ ( ) + = ∙ ( ) + .

Формула середніх прямокутників для одного відрізка:

= − ∙ +

 

+ = ∙ +

 

+ .

 

 

2

2

Для зменшення похибки розрахунку інтеграла відрізок інтегрування розбивають на n зазвичай рівних відрізків і на кожному з них будують прямокутник (рис. 4.5 – 4.7).

Тоді наближене значення інтеграла буде дорівнювати сумі площ n прямокутників, побудованих на відрізку інтегрування.

Формула лівих прямокутників для n відрізків:

 

−1

 

−1

 

=

 

+ = ∙

 

+ .

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

=0

 

 

 

 

Формула правих прямокутників для n відрізків:

 

 

 

 

 

=

 

+ = ∙

 

+ .

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

=1

 

 

 

 

Формула середніх прямокутників для n відрізків:

 

 

 

−1

 

 

 

+ = ∙ −1

 

 

 

 

 

=

 

+

 

+

+ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

=0

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чим менше довжина відрізків, на які ділиться відрізок інтегрування, тим точніше значення інтеграла, яке обчислюється за цими формулами.

Апріорна оцінка похибки обчислення інтеграла методами лівих і правих прямокутників:

9

=

х0 = а х1 х2 х3 =

Рисунок 4.5 – Метод лівих прямокутників для трьох відрізків

=

х0 = а х1 х2 х3 =

Рисунок 4.6 – Метод правих прямокутників для трьох відрізків

=

 

 

 

 

 

 

х0 = а х1 х2 х3 =

Рисунок 4.7 – Метод середніх прямокутників для трьох відрізків

10

=

 

 

 

.

 

2

 

 

 

 

 

 

Апріорна оцінка похибки обчислення інтеграла методом середніх прямокутників:

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

24

Ступінь кроку інтегрування називається порядком точності методу інтегрування. Отже методи лівих і правих прямокутників мають перший порядок точності, а метод середніх прямокутників – другий.

4.2 Метод трапецій

 

 

 

 

В методі трапецій підінтегральна функція

( ) апроксимується

ступеневим багаточленом першого ступеня

=

0

0 + 1, тобто

 

 

 

1

прямою, яка проходить через дві точки ,

і ,

на кінцях

відрізка інтегрування (рис. 4.8).

 

 

 

 

R B

=

А

S

a

h

b

 

 

Рисунок 4.8 – Метод трапецій

Наближене значення визначеного інтеграла розраховується як площа прямокутної трапеції, нижня сторона якої є відрізком інтегрування, ліва бокова – значенням підінтегральної функції в лівій межі відрізка інтегрування, права бокова – значенням підінтегральної функції в правій межі відрізка інтегрування, верхня – відрізком апроксимуючої прямої.