Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Задания_ДС.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
349.7 Кб
Скачать

Тема 2. Рекурсивные функции

Рекурсивные функции представляют собой исторически первую формальную модель алгоритма. Они задают алгоритм как правило вычисления значения некоторой числовой функции. Ключевыми в данной теме являются понятия рекурсии и оператор примитивной рекурсии.

Рекурсия в самом общем виде – это есть правило определения ( или построения ) некоторого объекта с использованием его же самого.

Дадим некоторые важные определения.

Числовые функции, значения которых можно вычислять посредством единого для данной функции алгоритма, называются вычислимыми функциями. Вычислимая функция – интуитивное понятие, поскольку при ее определении использован термин « алгоритм ».

Арифметическими называются функции, области определения и значений которых – натуральный ряд.

Арифметические функции с ограниченной областью определения называются частными , остальные – всюду определенными.

Для первоначального ознакомления с рекурсивными функциями рекомендуется литература [ 1,4,8 ]. Для более полного изучения можно воспользоваться монографией А.И. Мальцева [ 5 ] или Р. Петер [ 6 ]. Книга [ 6 ] вместе с тем написана достаточно просто и понятно даже для неподготовленного читателя.

Задания на самостоятельную работу

Контрольные вопросы :

- что такое частичные функции, вычислимые функции ?

- перечислите простейшие функции, принятые в теории рекурсивных функций;

- что такое примитивно-рекурсивная функция ?

- как доказать примитивную рекурсивность функции ?

- являются ли примитивно-рекурсивные функции частичными или всюду определенными ? Почему ?

- что такое оператор минимизации? Когда он работает бесконечно?

- что такое общерекурсивная функция?

Задания

Показать, что функция f(n) - примитивно-рекурсивная. Привести тестовые примеры.

  1. Сумма всех делителей n.

  2. Количество взаимно простых с n чисел.

  3. Количество нулей в двоичной записи n.

  4. Сумма цифр в двоичной записи n .

  5. Кол-во делителей числа n .

  6. Максимальная цифра в 8-ричной записи n .

  7. Минимальная цифра 8-ричной записи n .

  8. Количество четных цифр в 8-ричной записи n .

  9. Количество нечетных цифр в 8-ричной записи n .

  10. Сумма простых делителей n .

  11. Количество простых чисел, меньших либо равных n .

  12. Количество чисел, меньших либо равных n, являющихся полными квадратами.

  13. Сумма чисел, меньших либо равных n, являющихся степенью 2.

  14. Максимальная цифра в 16-ричной записи n .

  15. Минимальная цифра в 16-ричной записи n .

  16. Ближайшее к n простое число.

  17. Произведение простых делителей n .

  18. Произведение взаимно простых с n чисел, меньших либо равных n .

  19. Произведение нечетных делителей числа n, меньших либо равных n .

  20. Произведение четных цифр 8-ричной записи числа.

  21. MAX(НОД(n,m), HOK(n,m)).

  22. Целая часть квадратного корня из n ,.

  23. Целая часть корня степени y из x, .

  24. Целая часть exp(x), .

  25. (=1 при y>=x)

  26. Функция, перечисляющая по порядку числа Фибоначчи:

Задачи.

1.Доказать примитивную рекурсивность следующих функций и предикатов :

а)

б)

в)

г)

д)

е) « ступенька » :

ж) функция, отличная от нуля в конечном числе точек;

з) (х) - сумма делителей числа x , где (0)=0

и) p(x) - произведение делителей числа х ;

к) (x) - количество делителей числа x ;

л) предикат : Х - четное число

м) предикат : Х делится на n ;

н) - число простых чисел , не превосходящихx :

о) K(x,y) - наименьшее общее кратное x и y , если K(x,0)=0 и K(0,y)=0;

п) d(x,y) - наибольший общий делитель чисел x и y , если d(0,0)=0;

р) - х-тое простое число

с) , где

т)

  1. Используя операторы суперпозиции и примитивной рекурсии, докажите примитивную рекурсивность следующих функций :

а)

б)

в)

г) (сумма по модулю 2);

д)

е) импликация xy ;

3. Пусть функции примитивно–рекурсивны. Доказать, что тогда примитивно–рекурсивны и следующие функции :

а)

б)

в)

г)

д)

если верхний предел суммирования меньше нижнего, то сумма равна нулю.

е)

если верхний предел меньше нижнего, произведение равно 1.

  1. Пусть примитивно–рекурсивные функции. Докажите, примитивно–рекурсивна и, определяемая следующей схемой :

  1. Приведите процесс вычисления функций по схеме примитивной рекурсии :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

  1. Докажите частичную рекурсивность следующих функций :

а)

б)

  1. Применив операцию минимизации к подходящей примитивно–рекурсивной функции, докажите, что функция является частично–рекурсивной :

а)

б)

в)

г)

д)

  1. Приведите процесс вычисления функций с использованием оператора минимизации :

а)

б)

в)

г)