4.4 Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Распределение Стьюдента. Интегральная функция распределения

Наиболее распространенным для непрерывных случайных величин является нормальное распределение с плотностью

где e- основание натуральных логарифмов;

μ, σ - параметры распределения.

Случайные погрешности многократных измерений обычно распределены по нормальному закону.

Кривые нормального распределения (рис. 4.4) симметричны относительно ординаты, проходящей через точку x =μ, и имеют в этой точке единственный максимум, равный1/() (мода для нормального закона распределения). Приx=μ кривая симметрична относительно оси ординат. Абсциссамμ-σиμ+σсоответствуют точки перегиба кривой; с уменьшениемσмаксимум кривой возрастает, и она становится более островершинной.

Рис. 4.4

Нормальное распределение также называют распределением Гаусса, использование которого для обработки конечных совокупностей случайных величин, если числоnдостаточно велико (n30). В этом случае условно считают, что наблюдаемыеnзначений величиныX, т.е.x₁, x₂, …, x_n представляет собой случайную выборку из воображаемой бесконечнойгенеральной совокупности.

В статистике малых выборок (в микростатистике) большую роль играет другое распределение непрерывных случайных величин – распределение Стьюдента, плотность вероятности которого определяется выражением

где ()- гамма-функция (интеграл Эйлера второго рада);

t_ - величина, характеризующая степень отклонения выборочных статистических характеристик от генеральных;

k = n –1- число степеней свободы.

Значение гамма-функции для целого положительного числа bможно вычислить по формуле

() = (b - 1)!

График распределения Стьюдента напоминает по форме нормальное распределение и с увеличением nприближается к нему все больше (можно считать, что приn > 30оба графика практически совпадают).

Следующий способ описания совокупности случайных величин – с помощью интегральной функции распределения.Значение этой функцииF(x)при каждом фиксированномxравно вероятности того, что случайная величинаXне превыситx, т.е.F(x)= p(X<x).

Интегральная функция нормального распределения (рис. 4.5) описывается формулой

и изменяется от 0 до 1 при изменении xот -до. ЗначенияF(x; , )для конкретныхx, иможно вычислить по таблицам стандартной функции – так называемого интеграла Лапласа(y). ФункцияF(x; , )вычисляется по формуле

F(x; , ) = [(x-)/] + 0,5.

Таблица (y) составлена только для положительных значенийy, для отрицательных следует воспользоваться соотношением

(-y) = -(y).

Рис. 4.5

Контрольные вопросы.

1. Какие статистические характеристики для дискретной случайной величины Вы знаете?

2. Что такое гистограмма, полигон частот, кривая распределения плотности вероятностей непрерывной случайной величины?

3. В каких случаях магнитные методы применяются для доводки концентратов.

4. Дайте определение нормального распределения, распределения Стьюдента, интегральной функции распределения.

Литература к лекции: [1], [2], [4]