Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
3Курс_Метрология_Ч-1.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
693.25 Кб
Скачать

6.2 Методика обработки результатов совокупных и совместных

измерений

Совокупные и совместные измерения позволяют определить искомые значения величинx1, x2, …, xn,не поддающиеся непосредственному наблюдению, по результатам измерения значений других величинy1, y2, …, ym,которые являются их функциями:

yj = j (x1, x2, …, xn), (6.16)

где i = 1, 2, ..., n – порядковый номер неизвестных величинX,

j = 1, 2, ..., m – порядковый номер прямых измерений величинY.

После проведения прямых измерений значений величин Yj результаты этих измерений подставляются в систему уравнений 6.16, решение которой позволяет найти искомые значения одноименных (присовокупных) или неодноименных (присовместных) величинx1, x2, …, xn.

При совокупныхизмерениях непосредственно измеряют значения различных сочетаний одноименных величин, каждое из которых в отдельности измерить невозможно.

В совместныхизмерениях необходимо найти зависимость между несколькими неодноименными величинами.

Если в результатах прямых измерений величин Yj содержатся случайные погрешности, то они имеются и в результатах совместных (совокупных) измерений величинXi. Очевидно, что приm < nсистему 6.16 вообще решить невозможно; приm = nтакое решение алгебраически возможно, однако погрешности результатов измерений величинXi будут, как и при прямых однократных измерениях, велики, и числовое значение этих погрешностей останется неизвестным. Приm > nсистема становится алгебраически неразрешимой, так как эти уравнения несовместимы, поскольку правые части уравнений 6.16 вместо точных значенийYjсодержат результата их измеренийyj = Yj + Yj со случайными погрешностямиYj. Однако в последнем случае при нормальном законе распределения ошибок измерения величинyj(что обычно и бывает) можно найти такую совокупность значенийxi,которая с наибольшей вероятностью удовлетворяла бы исходным зависимостям 6.16. Это может быть осуществлено с помощью способа наименьших квадратов (принцип Лежандра).

Такой способ обработки экспериментальных данных при совокупных (совместных) измерениях особенно удобно применять при линейном характере функции jв противном случае обработка усложняется.

Рассмотрим случай, когда функции jлинейны:

(6.17)

Эту же систему запишем более компактно:

j=1, 2, …, m. (6.18)

Здесь индексы при коэффициентах aуказываются в последовательности «строка-столбец» (j – i).

Уравнения 6.17 и 6.18 называются условными. Ввиду наличия погрешностей правые части условных уравнений в действительности не будут равны нулю, а некоторым vj (так называемым «невязкам», или остаточным погрешностям условных уравнений):

j=1, 2, …, m.(6.19)

В соответствии с принципом Лежандра наиболее вероятными значениями неизвестных величин Xiв этом случае будут такие, при которых сумма квадратов остаточных погрешностейvj минимальна:

(6.20)

Необходимым условием такого минимума является равенство нулю производных

i=1, 2, …, n.(6.21)

Подставляя в выражение 6.21 значения vjиз соотношения 6.19, получаем после преобразований систему нормальных уравнений:

h=1, 2, …, n.(6.22)

Запишем эту же систему в развернутом виде:

(6.23)

Здесь индексы при коэффициентах bтакже указывается в последовательности «строка-столбец» (h – i).

Поскольку число нормальных уравнений всегда равно числу неизвестных, такая система алгебраически разрешима.

Предположим, что в результате совместных (совокупных) измерений получена такая система условных уравнений:

при n = 2

(6.24)

при n = 3

(6.25)

Система нормальных уравнений имеет вид:

при n = 2

(6.26)

при n = 3

(6.27)

Коэффициенты bhiможно вычислить по формулам:

(6.28)

Значения chопределяется следующим образом:

(6.29)

Для решения системы 6.23 составляем и вычисляем главный определитель данной системы уравнений:

для n = 2

(6.30)

для n = 3

(6.31)

Составляем и вычисляем частные определители D1 иD2, заменив в системе 6.23 коэффициентыbhi при соответствующих неизвестных на свободные членыch:

для n = 2(6.32)

для n = 3 (6.33)

Вычисляем наиболее вероятные значения неизвестных:

для n = 2 (6.34)

для n = 3(6.35)

Подставив вычисленные наиболее вероятные значения неизвестных в условные уравнения 6.19, можно найтиvj, затем получитьvjи сумму квадратов остаточных погрешностей.

Среднеквадратичное отклонение результатов совокупных (совместных) измерений

(6.36)

где m– число условных уравнений;

n – число неизвестных;

Ahi – адъюнкты элементовbhi главной диагонали определителяD (приh=i), полученные вычеркиванием строкиhи столбца i, соответствующих данному элементуbhi, и последующим умножением на (-1)h+i.

Для n = 2адъюнкты равны

(6.37)

для n = 3

(6.38)

Задавшись доверительной вероятностью , из приложения Б находим соответствующее значение коэффициента доверияtγ. В этом случае число степеней свободы равно

k = m – n. (6.39)

Тогда можно найти доверительные границы случайной составляющей погрешности результата совокупных (совместных) измерений:

(6.40)

Вычисляем доверительные границы общей погрешности результата совокупного (совместного) измерения

.(6.41)

Записываем результат совокупного (совместного) измерения в виде

(6.42)

где – наиболее вероятное значениеi-го результата измерения ().

Контрольные вопросы.

  1. Что такое косвенное измерение?

  2. Как проверить корреляцию между результатами наблюдений каждой пары аргументов?

  3. Как определить погрешность результата косвенного измерения?

  4. Как определить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата совокупных и совместных измерений?

Литература к лекции: [1], [2], [4]

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.