2.3 Многоканальная модель массового обслуживания

Для иллюстрации применения методов теории массового обслуживания к проектированию процессов оказания услуг необходимо рассмотреть многоканальную систе­му массового обслуживания, в которой прибывающие потребители обслужива­ются двумя или более узлами или каналами обслуживания. Допустим также, что потребители, ожидающие обслуживания, стоят в одной очереди и подходят к пер­вому освободившемуся исполнителю. Пример такой многоканальной, однофа­зовой линии обслуживания сегодня можно встретить в сервисе транспортных средств

Многоканальная система, представленная здесь (рис. 5.3), предполагает также, что вновь прибывающие объекты описываются пуассоновским распределением вероятности, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Обслужи­вание выполняется по принципу «первым прибыл — первым обслужили», и пред­полагается, что уровень обслуживания у всех исполнителей одинаковый. Другие предположения, указанные ранее для одноканальной модели, также применимы и для многоканальной системы.

Рис. 5.3 Структурная схема многоканальной системы

Параметры распределения и формулы массового обслуживания для этой модели приведены ниже.

Потребители, которые пребывают с частотой около λ == 2 человека в час, ждут в одной очереди, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик устанавливает глушители со скоростью около μ = 3 глушителя в час.

Чтобы понять, как работает эта система по сравнению со старой одноканаль­ной системой массового обслуживания, рассчитаем несколько операционных ха­рактеристик для канальной системы с числом каналов М = 2 и сравним полученные результаты со значениями, найденными в первом примере.

Расчет начинается с определения вероятности того, что в системе находится 0 потребителей Р_о. В рассматриваемом случае (М=2) эта величина рассчитывается по формуле:

Р_о = [1 +λ/μ + (λ/μ)^м Мμ/М!*(Мμ – λ)]^-1 =

= [1 + 2/3 + (2/3)² 2*2*3/2*(2*3 – 2)]^-1 = 0,5

Т.е. 0,50 вероятность того, что в системе 0 машин.

Затем определяется среднее количество потребителей в системе:

L_s = λμ*(λ/μ)^м Р_о /(М-1)!*(Мμ – λ)² + λ/μ = 2*3*(2/3)²*0,5/(2*3 – 2)² +2/3 = 0,75 Т.е. среднее количество потребителей в системе 0,75

Среднее время, которое потребители проводят в очереди или обслуживаются(находятся в системе):

W_s = μ(λ/μ)^M P₀/ (M – 1)!*(Mμ –λ) + 1/μ = L_s/λ = 0,75/2 = 0,375.

Т.е.. 22,5 минут среднего времени, которое машина проводит в системе. Среднее количество потребителей в очереди на шиномонтаж вычисляется по формуле: L_q = L_s – λ/μ = 0,75 – 0,67 = 0,083

Т.е. 0,083 среднего количества машин в очереди.

Среднее время, которое потребитель в очереди:

W_q = L_q/λ = 0,083/2 = 0,0415 или 2,5 минуты, среднего времени, которое машина проводит в очереди.

Можно подвести итог этим характеристикам и сравнить их с такими же характеристиками одноканальной модели следующим образом:

	Один канал	Два канала
Ро	0,33	0,5
Ls L,	2 машины	0,75 машин
Ws	60 минут	22,5 минут
Lq	1,33 машины	0,083 машин
Wq	40 минут	2,5 минуты

Ускорение обслуживания значительно влияет почти на все характеристики. Особенно снизилось время, проведенное в очереди, — с 40 до 2,5 минут. Это согла­суется с графиком соотношения затрат, изображенным на рис. 5.1.

Лекция 14.