27. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожиданиянормально распределенного количественного признакапо выборочной среднейпри неизвестном среднем квадратическом отклонениигенеральной совокупности служит доверительный интервал, где– точность оценки,– объем выборки,– значение аргумента функции Лапласа, при котором.

При неизвестном доверительный интервал определяется как, где– исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонениянормально распределенного количественного признакапо исправленному выборочному среднему квадратическому отклонениюслужит доверительный интервалпри,при.

Пример 27.1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания по выборочным средним , если объем выборки и надежность оценки.

Решение. Найдем . Из соотношенияполучим. По таблице функции Лапласа находим. Найдем точность оценки:. Доверительный интервал таков:.

Пример 27.2. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводиться к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала.

Все величины, кроме , известны. Найдем. По таблицес учетом, чтоинаходим.

Подставив ,,,в формулу, получим искомый интервал:.

Пример 27.3. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонениес надежностью 0,95.

Решение. По таблице по данным инайдем. Искомый доверительный интервал таков:или.

28. Корреляционный анализ.

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины от одной или нескольких других величин.

Степень статистической связи может быть проиллюстрирована полем корреляции. Методика построения поля корреляции зависит от объема выборки. Если объем выборки небольшой, то пару случайных чисел изображают графически в виде точки с координатами. Аналогично изображается весь набор пар случайных чисел (вся выборка).

В случае, когда объем выборки большой, выборочные данные следует упорядочить, т.е. переменные сгруппировать. По осям координат откладывают или дискретные значения переменных, или интервалы их изменения. Для интервального ряда наносится координатная сетка. Каждая пара переменных из данной выборки изображается в виде точки с соответствующими координатами для дискретного ряда или в виде точки в соответствующей клетке для интервального ряда.

Для оценки степени связи между признаками ислужит выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле:.

Для качественной оценки тесноты связи между иможно воспользоваться таблицей Чеддока:

Диапазон изменения	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характер тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	сильная	весьма сильная

Пример 28.1. Изучается зависимость между ценой квартиры (– тыс. долл.) и размером ее жилой площади (– кв. м) по следующим данным:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	28	25	33	46	32	24	32	24	36	32
	34	28	38	48	36	27	28	29	31	37

Постройте поле корреляции, характеризующее зависимость цены квартиры от жилой площади. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл.

Решение. По исходным данным построим поле корреляции, характеризующее зависимость цены квартиры от жилой площади, рис. 28.1.

48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
0	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48

Рис. 28.1. Поле корреляции

Линейный коэффициент корреляции определим по формуле , промежуточные результаты вычислений представим в таблице.

№
1	28	34	-3,2	10,24	0,4	0,16	-1,28
2	25	28	-6,2	38,44	-5,6	31,36	34,72
3	33	38	1,8	3,24	4,4	19,36	7,92
4	46	48	14,8	219,04	14,4	207,36	213,12
5	32	36	0,8	0,64	2,4	5,76	1,92
6	24	27	-7,2	51,84	-6,6	43,56	47,52
7	32	28	0,8	0,64	-5,6	31,36	-4,48
8	24	29	-7,2	51,84	-4,6	21,16	33,12
9	36	31	4,8	23,04	-2,6	6,76	-12,48
10	32	37	0,8	0,64	3,4	11,56	2,72
	312	336		399,6		378,4	322,8

Средний размер жилой площади квартиры равен кв. м., средняя цена квартиры –. Линейный коэффициент корреляции равен. Так как линейный коэффициент корреляции равен 0,83, то между признаками существует сильная зависимость.