22. Теорема сложения и умножения вероятностей.

Суммой двух событий иназывается событие, состоящее в том, что в результате опыта появится хотя бы одно из них (или, или, или оба вместе, если это возможно). Сумма двух событийиобозначается.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1. Если несовместные события ,, …,образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е..

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Пример 22.1. В урне находятся 20 черных, 15 белых и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что вытащенный шар будет не красный.

Решение. Рассмотрим следующие события: – «вынутый шар черный»;– «вынутый шар белый»;– «вынутый шар красный».

Пусть событие, состоящее в том, что вынутый шар не красный. Интересующее нас событиеможно представить. Вероятность события, равна.

Пример 22.2. При стрельбе из пистолета вероятность попадания в «десятку» равна 0,25, в «девятку» – 0,30, в «восьмерку» – 0,15, в «семерку» – 0,12. Какова вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет: а) не менее 8 очков; б) не более 8 очков.

Решение. Рассмотрим следующие события: – попадание в «десятку»;–попадание в «девятку»;– попадание в «восьмерку»;– попадание в «семерку» и т.д.

а) Поскольку нас интересует вероятность того, что стрелок выбьет не менее 8 очков, это значит, что стрелок попадет либо в «десятку», либо в «девятку», либо в «восьмерку», то есть нас интересует вероятность суммы событий ,и. События эти несовместны, поэтому следует воспользоваться формулой суммы вероятностей. Итак, искомая вероятность равна.

б) Если требуется вычислить вероятность того, что стрелок выбьет не более 8 очков, то это значит, что он попадет в «восьмерку», либо в «семерку», либо «шестерку» и т.д. Нам не известна вероятность попадания в «шестерку», «пятерку» и т.д. Поэтому можно воспользоваться первым следствием, т.е. вероятность событий, образующих полную группу, равна единице. Следовательно, искомую вероятность можно найти из соотношения .

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Пример 22.3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятности поражения ими цели соответственно равны 0,8 и 0,7. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Рассмотрим следующие события: – поражение цели первым стрелком,– поражение цели вторым стрелком.

Применим формулу вероятности суммы двух событий, учитывая, что события исовместные, тогда.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример 22.4. Вероятность поломки первого станка в течении смены равна 0,2, а второго – 0,13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?

Решение. Станки работают независимо друг от друга, поэтому событие (поломка первого станка) и событие (поломка второго станка) независимы. Тогда .

Событие называетсязависимым от события , если вероятность событиязависит от того, произошло событиеили нет.

Условной вероятностью называется вероятность события, вычисленная в предположении, что событиеуже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Пример 22.5. Из урны, содержащей 15 белых и 10 черных шаров, наугад дважды вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что в первый раз появился белый шар, а во второй – черный?

Решение. Рассмотрим следующие события: – извлечен белый шар при первом испытании; – извлечен черный шар при втором испытании.

В задаче требуется определить вероятность сложного события, равного произведению событий и. Вероятность событияи условная вероятность событиясоответственно равны:,. Поэтому искомая вероятность равна.