Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 5

21. Определение вероятности.

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий будем называть опытом или испытанием.

Событие называется достоверным, если оно в результате опыта (испытания) обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если оно в результате опыта (испытания) заведомо не произойдет.

Событие, которое в результате опыта (испытания) может либо произойти, либо не произойти, называется случайным (возможным).

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого события в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления. Вероятность невозможного события равна 0, достоверного – 1, а вероятность случайного события заключено, между нулем и единицей, т.е. .

Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Пример 21.1. В коробке 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 6 красных и 4 черных. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что извлеченный шар красный. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию . В соответствии с классическим определением вероятности получаем .

Пример 21.2. Все натуральные числа от 1 до 15 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что число на взятой карточке кратно 5. В данном испытании имеется 15 равновозможных элементарных исходов, из которых событию благоприятствует 3 исхода (числа 5, 10, 15). Следовательно, .

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребляемые из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяют по формуле:

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяют по формуле:

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний можно определяют по формуле: .

Пример 21.3. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Найти вероятность того, что среди 4 взятых наудачу деталей 3 стандартных.

Решение. Обозначим за – событие, состоящее в том, что среди 5 взятых деталей 3 стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 4 деталей из 8, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов: .

Число исходов, благоприятствующих событию – «среди 4 взятых деталей 3 стандартные», 3 стандартные детали из 5 можно взять способами, при этом остальные (1 деталь) должны быть нестандартными; взять же 1 нестандартную деталь можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: .