23. Формула полной вероятности и Байеса.

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий,, …,образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события, т.е.

.

Пример 23.1. На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята деталь. Какова вероятность, что она нестандартная?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что взятая наудачу деталь имеет дефект. Возможны следующие предположения (гипотезы): – деталь изготовлена на 1-м станке, – деталь изготовлена на 2-м станке, – деталь изготовлена на 3-м станке.

Вероятность того, что деталь изготовлена на 1-м станке, равна , на 2-м станке – , на 3-м станке – . Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны , ,

.

По формуле полной вероятности имеем .

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события по различным гипотезам, представляющим полную группу. Английский математик Байес (Бейес) в 1764 г. вывел формулы, которая позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

_.

Пример 23.2. В трех одинаковых урнах лежат по 10 шаров. В первой находится 5 белых и 5 черных, во второй 7 белых и 3 черных, в третьей 9 белых и 1 черный. Наугад из одной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность, что он был взят из третьей урны.

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы): – шар извлечен из первой урны, – шар извлечен из второй урны, – шар извлечен из третьей урны.

Вероятности гипотез равны , , . Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны , , .

По формуле полной вероятности имеем . Используя формулу Байеса, находим вероятность .

24. Случайные величины.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита ,,, ..., а их возможные конкретные значения – соответствующими малыми буквами этого алфавита,,, ... Случайные величины различают на дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенной вероятностью.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Любая случайная величина может быть задана законом распределения. Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим, он неприменим для непрерывных случайных величин. Случайную величину можно задать с помощью функции распределения.

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение, меньшее, т.е..

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию– первую производную от функции распределения:.

Возможные значения случайной величины могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Этот центр является некоторым средним значением случайной величины, вокруг которого группируются остальные ее значения. Для характеристики такой особенности распределения случайной величины служит математическое ожидание, которое иногда называют центром распределения или средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих значений:.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл .

Если возможные значения принадлежат всей оси , то .

Математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину. Не всегда достаточно знать среднее значение случайной величины. Часто бывает необходимым знать «рассеяние» значений случайной величины относительно ее математического ожидания, то есть надо найти число, которое давало бы нам меру рассеяния, меру отклонений этой величины от ее среднего значения. К характеристикам рассеивания относятся: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожиданияназываетсядисперсией случайной величины .

Для дискретной случайной величины дисперсию можно определим по формуле , для непрерывной случайной величины –. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле.

Пример 24.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной следующим законом распределения:

	2	3	5
	0,1	0,6	0,3

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:. Найдем искомую дисперсию:. Искомое среднее квадратическое отклонение равно.