25. Нормальное распределение.

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности имеет вид , гдеи– некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Для того, чтобы задать нормальное распределение достаточно знать параметры и. Эти параметры имеют вполне определенный физический смысл. Так, например,представляет собой математическое ожидание, а– среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины.

Для вычисления вероятности попадания значения случайной величины, распределенной нормально, в заданный интервал , можно воспользоваться специальной функцией. Эта функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Необходимо помнить, что– нечетная функция.

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что она примет значение, принадлежащее интервалуравна.

Пример 25.1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу.

Решение. Воспользуемся формулой . Подставив,,и, получим. По таблице значений функциинаходим. Тогда искомая вероятность равна.

Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 6

26. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.

При изучении качественного и количественного признаков, характеризующих множество некоторых однородных объектов, не всегда имеется возможность обследовать каждый объект этого множества. Да и не всегда существует необходимость и целесообразность сплошного обследования. Поэтому обследуют только некоторую небольшую часть случайно отобранных объектов и на основании полученных данных делают вывод обо всем множестве объектов. Практика подтверждает, что сделанные выводы бывают достаточно объективными.

Множество всех объектов, подлежащих изучению, называется генеральной совокупностью.

Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части (простой случайный бесповторный отбор, простой случайный повторный отбор).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).

Целью создания выборки является сбор статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак. Изучение статистических данных позволяет оценить параметры (характеристики) генеральной совокупности по данным выборки.

Собранные по полученной выборке статистические данные представляют собой исходный числовой материал, подлежащий дальнейшей обработке и анализу. Для изучения этих данных, прежде всего их группируют и представляют в виде вариационного, статистического и интервального рядов..

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде ряда. Теперь результаты наблюдений над случайной величиной следует подвергнуть анализу и выявить характерные особенности поведения случайной величины. Для этого удобнее всего выделить некоторые постоянные, которые представляли бы вариационный или статистический ряд в целом и отражали присущие изучаемой совокупности закономерности.

Некоторые из этих постоянных отличаются тем, что вокруг них концентрируются остальные результаты наблюдений. Такие величины называются средними величинами. К ним относятся среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и т.д. Однако эти характеристики не отражают «величину изменчивости» наблюдаемых данных, например величину разброса значений признака вокруг среднего арифметического. Другими словами, упомянутые средние величины не отражают вариацию.

Для характеристики изменчивости случайной величины, т.е. вариации, служат показатели вариации. К ним относятся размах варьирования, среднее квадратическое отклонение, дисперсия и т.д. Рассмотрим числовые характеристики вариационных рядов.

Средней арифметической вариационного ряда называется частное от деления суммы всех вариантов на их число, т.е. . Если данные наблюдений представлены в виде статистического ряда, где,, …,– наблюдаемые варианты, а,, …,– соответствующие им частоты, причем, то.

Выборочной дисперсий вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической. Если данные наблюдений представлены в виде статистического ряда, то выборочную дисперсию определяют по формуле.

Пример. 26.1. Имеются данные о выработке 50 рабочих механического цеха представленные статистическим рядом:

	90	100	110	120	130	140
	1	3	6	7	21	12

Найти среднюю выработку рабочего механического цеха, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Среднюю выработку рабочего определим по формуле средней арифметической для статистического ряда, получим .

Для удобства и упрощения вычислений выборочной дисперсии все расчеты сведем в таблицу.

90	1	-36	1296	1296
100	3	-26	676	2028
110	6	-16	256	1536
120	7	-6	36	252
130	21	4	16	336
140	12	14	196	2352
				7800

Выборочная дисперсия распределения рабочих по выработке равна , среднее квадратическое отклонение –.

Пример 26.1. Дан статистический ряд:

	2	3	4	5	6
	1	2	5	3	1

Построить полигон распределения.

Решение. Построим полигон распределения, рис. 26.1.

6
5
4
3
2
1
0		1		2		3		4		5		6		7

Рис. 26.1. Полигон распределения