29. Регрессионный анализ.

Практическое значение парной линейной регрессии состоит в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида . Построение данного уравнения сводится к оценке ее параметров –и, которые определяются по формулам,.

Пример 29.1. Администрация компании по продаже легковых автомобилей проводит анализ спроса на различные модели автомобилей марки в зависимости от их цены. Ниже приводятся данные о ценах и среднемесячных объемах продаж 12 моделей автомобилей данной марки:

Модель	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Цена, тыс. дол.	25	28	29	27	29	28	29	24	25	23	25	28
Количество проданных автомобилей в среднем за месяц, шт.	55	48	40	42	27	35	28	58	54	52	55	48

Определите параметры уравнения линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии .

Решение. Определим параметры уравнения линейной регрессии по формулам ,, промежуточные результаты представим в таблице:

№
1	55	25	1375	3025
2	48	28	1344	2304
3	40	29	1160	1600
4	42	27	1134	1764
5	27	29	783	729
6	35	28	980	1225
7	28	29	812	784
8	58	24	1392	3364
9	54	25	1350	2916
10	52	23	1196	2704
11	55	25	1375	3025
12	48	28	1344	2304
	542	320	14245	25744

Так как ,, то уравнение линейной регрессии имеет вид. Так как, то при увеличении на одну единицу количества машин, цена уменьшается на 0,17 тыс. руб.

30. Проверка статистических гипотез.

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению.

Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения. Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок, опыта аналогичных предшествующих исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Естественно, возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служит критерии согласия.

Рассмотрим наиболее используемый критерий – критерий согласия Пирсона. Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Ясно, что эмпирические частоты находят из опыта. Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведен один из способов решения этой задачи.

Для нахождения теоретических частот необходимо:

1. Пронормировать случайную величину , т.е. перейти к случайной величине, и вычислить концы интервалов:,, причем наименьшее значение, т.е.полагают равным, а наибольшее, т.е.полагают равным.

2. Вычислить теоретические частоты , где– вероятности попаданияв интервалы,– функция Лапласа.

Пример 30.1. В учебной группе из 30 курсантов измерили рост с точностью до 1 см. Результаты измерений представлены в таблице:

Интервалы
	1	1	2	11	10	4	1

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении.

Решение. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения поставленной задачи дополним интервальный ряд средними значениями интервалов.

Интервалы
	165	169	173	177	181	185	189
	1	1	2	11	10	4	1

Среднее арифметическое равно

.

Выборочную дисперсию определим по формуле . Для удобства и упрощения вычислений все расчеты сведем в таблицу.

165	1	-13,87	192,2844	192,2844
169	1	-9,87	97,3511	97,3511
173	2	-5,87	34,4178	68,8356
177	11	-1,87	3,4844	38,3289
181	10	2,13	4,5511	45,5111
185	4	6,13	37,6178	150,4711
189	1	10,13	102,6844	102,6844
	30			695,4667

Выборочная дисперсия составляет , выборочное среднее квадратическое отклонение –.

Определим теоретические частоты. Найдем интервалы , учитывая, что,.Для удобства и упрощения вычислений составим расчетную таблицу:

163	167	–	-11,87		-2,46
167	171	-11,87	-7,87	-2,46	-1,63
171	175	-7,87	-3,87	-1,63	-0,80
175	179	-3,87	0,13	-0,80	0,03
179	183	0,13	4,13	0,03	0,86
183	187	4,13	8,13	0,86	1,69
187	191	8,13	–	1,69

Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты. Для этого составим расчетную таблицу:

	-2,46	-0,5000	-0,4931	0,0069	0,21
-2,46	-1,63	-0,4931	-0,4484	0,0447	1,34
-1,63	-0,80	-0,4484	-0,2881	0,1603	4,81
-0,80	0,03	-0,2881	0,0120	0,3001	9,00
0,03	0,86	0,0120	0,3051	0,2931	8,79
0,86	1,69	0,3051	0,4545	0,1494	4,48
1,69		0,4545	0,5000	0,0455	1,37

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий согласия Пирсона.

1. признакраспределен нормально.

2. Уровень значимости .

3. Критерий проверки – критерий согласия Пирсона.

4. Наблюдаемое значение критерия определяют по формуле .

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона, для удобства и упрощения вычислений все расчеты сведем в таблицу (малочисленные теоретические и эмпирическое частоты объединим).

4	6,36	-2,36	5,5554	0,8739
11	9,00	2,00	3,9880	0,4430
10	8,79	1,21	1,4568	0,1657
5	5,85	-0,85	0,7174	0,1227
				1,61

Наблюдаемое значение критерия равно .

5. По таблице критических точек распределения , по уровню значимостии числу степеней свободынаходим критическую точку правосторонней критической области.

1,61	3,8

6. Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергаем.