19. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные (или дифференциалы) этой функции.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде , где– некоторая функция отпеременных,, при этом порядокстаршей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения порядка называется такое его решение, которое является функцией переменнойипроизвольных независимых постоянных,, …,.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных ,, …,.

Дифференциальное уравнений называется неполным, если функцияявно зависит либо только от, либо только от.

1. Рассмотрим решение уравнения . Учитывая, что, то перепишем уравнение в виде, откуда его решение.

2. Рассмотрим решение уравнения . Обе части уравнения разделим, учитывая, что, получим, откуда его решение.

Пример 19.1. Решить дифференциальные уравнения а) , б).

Решение.

а) Дифференциальное уравнение является неполным дифференциальным уравнением первого порядка. Учитывая, что, тогда. Проинтегрировав обе части уравнения, получим общее решение.

б) Разделив обе части уравнения на, получим или. Проинтегрировав обе части уравнения, получим.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнение с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде , гдеи– непрерывные функции.

Для решения данного уравнения преобразуем его к виду, в котором дифференциал функции переменнойокажутся в одной части равенства, а переменная– в другой, т.е.. Проинтегрировав обе части уравнения, получим его решение.

Пример 19.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделив обе части уравнения на , приходим к равенствуили. Проинтегрировав обе части уравнения, получимили.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид , гдеи– непрерывные функции.

Решение данного уравнения будем искать в виде , где,. Так как, тоили.

Найдем какое-либо частное решение уравнения:,,,.

Найдем решение уравнения , где:,,.

Учитывая, что , получим общее решение уравненияв виде.

Пример 19.3. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пусть ,, тогда уравнениепримет видили.

Положим или. Дифференциальное уравнениеявляется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим обе части данного уравнения на, получимили. Проинтегрировав обе части уравнения, получим. Частное решение прибудет иметь вид, откуда.

При уравнениепримет видили. Учитывая, что, тогдаили. Проинтегрировав обе части уравнения, получим, откуда.

Так как ,,, то окончательно имеем.