20. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнение вида называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, гдеинекоторые действительные числа.

Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения необходимо составить характеристическое уравнение. При решении характеристического уравнениявозможны три случая:,,. Рассмотрим эти случаи.

1. Если , то характеристическое уравнение имеет два различных корняи, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

2. Если , то характеристическое уравнение имеет один корень(кратности 2), тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

3. Если , то характеристическое уравнение имеет два комплексных корня, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

Пример 20.1. Найти общее решение дифференциальных уравнений а) ; б).

Решение.

а) Составим характеристическое уравнение . Решая соответствующее уравнение, находим,. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид.

б) Составим характеристическое уравнение . Решая соответствующее уравнение, находим. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид.

Уравнение вида называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка, гдеи– некоторые действительные числа,– некоторая заданная функция.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решениясоответствующего ему однородного уравнения, т.е..

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть правая часть уравнения является многочленом степени, т.е. имеет вид, где,, …,– действительные числа и. Тогда частное решение следует искать в виде, где, если,, еслии,, если.

Пример 20.2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .Составим характеристическое уравнение: . Корни,являются корнями характеристического уравнения. Так как, то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Частное решение будем искать в виде . Тогда,. Подставляя выражения,в уравнение, приходим к равенству, откуда,. Частное решение будет иметь вид.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид, где,– действительные числа. Тогда частное решение следует искать в виде, где показатель степениравен кратности значениякак корня характеристического многочлена.

Пример 20.3. Найти общее решение уравнения.

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .Составим характеристическое уравнение: . Корни,являются корнями характеристического уравнения. Так как, то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Частное решение будем искать в виде . Тогда,. Подставляя выражения,,в уравнение, приходим к равенству,, откуда. Частное решение будет иметь вид.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

3. Пусть правая часть уравнения имеет вид, где,,– действительные числа и. Тогда частное решение следует искать в виде, где, если одновременно выполнены условия,,ив остальных случаях.

Пример 20.4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .Составим характеристическое уравнение: . Корни,являются корнями характеристического уравнения. Так как, то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Частное решение будем искать в виде . Тогда,. Подставляя выражения,,в уравнение, приходим к равенству. Из системынайдеми:,,,. Частное решение будет иметь вид.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .