37

Санкт-петербургский университет

ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ МЧС РОССИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для слушателей заочного обучения

направление подготовки 280705.65 – Пожарная безопасность

квалификация (степень) – специалист

Санкт-Петербург

2012

Санкт-Петербургский университет

государственной противопожарной службы МЧС России

Калинина Е.С., Крюкова М.С., Медведева О.М.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для слушателей заочного обучения

направление подготовки 280705.65 – Пожарная безопасность

квалификация (степень) – специалист

Санкт-Петербург

2012

СОДЕРЖАНИЕ

4

Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 4 4

Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 5 16

Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 6 25

Рекомендуемая литература 37

Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе № 4

16. Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел ,, …,, … соединенных знаком сложения:. Числа,, …,, … называются элементами ряда, а элемент– общим илиэлементом ряда.

Рассмотрим суммы конечного числа элементов ряда: ,,, …,. Суммапервых элементов ряда называетсячастичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. .

Число называется суммой ряда, тогда можно записать. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называетсярасходящимся.

Пример 16.1. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Сумма первых элементов рядаравна.

Найдем предел последовательности частичных сумм . Так как предел последовательности частичных сумм существует, то по определению о сходимости ряда исследуемый ряд сходится.

Установить сходимость (расходимость) ряда путем определения частичной суммы и вычисления предела последовательности частичных сумм возможно далеко не всегда из-за принципиальных трудностей при нахождении. Проще это можно сделать на основании признаков сходимости.

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего элемента приравен нулю, т.е..

Следствие. Если предел общего элемента ряда при не равен нулю, т.е., то ряд расходится.

Пример 16.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Общий элемент ряда равен . Найдем предел общего элемента ряда:. Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходиться ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами.

Теорема (Признак Даламбера). Если для ряда с положительными элементами существует предел отношенияэлемента кэлементу, то приряд сходится, приряд расходится, привопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 16.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как ,, то. Предел отношенияэлемента кэлементу равен, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема (Признак Коши). Если для ряда с положительными элементами существует предел, то приряд сходится, приряд расходится, привопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 16.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Исследуем данный ряд по признаку Коши. Так как , то исследуемый ряд сходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Если для рядов ис положительными элементами существует конечный предел отношения их общих элементов, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Признак сравнения дает возможность установить сходимость или расходимость некоторых числовых рядов путем сравнениях их с другими рядами, сходимость или расходимость которых известна заранее. Как правило, в качестве эталонов при применении данного признака используются следующие ряды:

1. геометрический ряд – сходится при, расходиться при;

2. гармонический ряд – расходится;

3. обобщенный гармонический ряд – сходится при, расходится при.

Пример 16.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним ряд с обобщенно гармоническим рядом , у которого. Так как, то исследуемый ряд расходится, так как расходится ряд.

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида , гдедля всех.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяется признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Если элементы знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего элемента приравен нулю, т.е., то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого элемента:.

Пример 16.6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как элементы знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине , и предел общего элемента равен, то по признаку Лейбница ряд сходится.