glava8

2. Последовательное соединение конденсаторов.

Разность потенциалов на зажимах батареи при последовательном соединении равна

n

Dj = ∑ Dji ,

i=1

где для любого из рассматриваемых конденсаторов

ϕi = qCi .

С другой стороны,

q = σS .

Сучетом этого емкость будет определяться выражением

C = σDSj .

Подставим числовые значения

C = 4 ×10−7 Кл/м2 ×0,005 м2 = 10−12 Ф = 1 пФ. 200 В

Задача 2. Найдите значение электроемкости (в пФ) системы конденсаторов

показанной на рисунке, если емкости конденсаторов равны C1 = 20 пФ, C2 = 30 пФ

и C3 = 8 пФ.

Подставим числовые значения

C = 20 пФ×30 пФ + 8 пФ = 20 пФ. 20 пФ + 30 пФ

Задача 3. Батарея, из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 200 пФ и 300 пФ, заряжена до разности потенциалов 100 В. Найти раз-

ность потенциалов на первом конденсаторе.

Посчитаем числовое значение для разности потенциалов на первом конденсаторе

§ 74

Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия

электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические си-

лы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает по-

тенциальной энергией. Определим потенциальную энергию двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

W1 = q1ϕ12 , W2 = q2ϕ21 ,

убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

где ϕi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi , всеми заря-

дами, кроме i-го.

2. Энергия взаимодействия диполя с электрическим полем. Энергия взаимо-

действия диполя с электростатическим полем определяется выражением

W = −pE cos α,

где p – величина дипольного момента, E – вели-

чина напряженности электрического поля, α – угол между направлениями векто-

ров p и E .

3. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны q , C , ϕ.

Увеличим заряд данного проводника на dq . Для этого необходимо перенести за-

ряд dq из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу dA = ϕdq = Cϕdϕ.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до ϕ, необходимо затратить работу

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

4. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник,

конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (19.3) равна

обкладками конденсатора.

Используя выражение (74.4), можно найти механическую (пондермотор-

ную) силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для этого предположим, что расстояние x между пластинами меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу

dA = Fdx

вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

Fdx = −dW ,

откуда

где знак «–» указывает, что сила F является силой притяжения.

чи диполь свободно устанавливается в электрическом поле, следовательно, α = 0 .

Подставим в формулу числовые значения

W2 − потенциальная энергия взаимодействия диполя с электрическим полем по-

сле поворота, которая определяется выражением W2 = −pEcos(α + Δα) .

С учетом равенств W1 и W2 формула для работы будет иметь вид

Aвнеш = −pEcos(α + Δα) − (−pEcos α) = pE[cos α − cos(α + Δα)].

Подставим числовые значения

Aвнеш = 5 ×10−11 Кл× м×5 ×104 В / м× (cos 0 - cos90°) = 25 ×10−7 Дж = 2,5 мкДж.

Задача 2. Найти энергию уединенной сферы радиусом 5 см, заряженной до

где C − емкость сферы, которую можно найти по выражению

C= 4πε0R.

Сучетом этого равенства формула для энергии будет иметь вид

W = 4pe0Rj2 = 2pe0Rj2 .

2

Подставим числовые значения

W = 2 ×3,14 ×8,85 ×10−12 Ф/м× 0,05 м× (100 В)2 = 2,8 ×10−8 Дж = 28 нДж.

Задача 3. Найти потенциальную энергию системы трех точечных зарядов

10 нКл каждый, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со

стороной 5 см.

ϕ − потенциал электрического поля в вершинах треугольника, где находятся за-

ряды, который равен

Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии

Задача 4. Найдите объемную плотность энергии электрического поля вбли-

зи бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью

w = e0E2 ,

2

где E − напряженность электрического поля вблизи бесконечной заряженной плоскости, которая определяется выражением

E = σ . 2ε0

Подставив это равенство в формулу для объемной плотности энергии, получим

После подстановки числовых значений получаем