glava8

замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основание которого парал-

лельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности ( cos α = 0 ), то поток вектора на-

пряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания En совпадает с E ), т.е. равен 2E S . Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σ S . Согласно теореме

Из формулы (61.1) вытекает, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. напряжен-

ность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле

равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно

заряженных плоскостей. Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и – σ. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоско-

стями описывается формулой (61.2), а вне объема, ограниченного плоскостями,

равна нулю.

3. После равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая по-

верхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плоскостью +σ.

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напря-

женности направлены радиально. Построим мыс-

ленно сферу радиуса r , имеющую общий центр с

заряженной сферой. Если r > R , то внутрь поверхности попадает весь заряд q ,

создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr2E = qε0 , откуда

замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов,

поэтому внутри равномерно заряженной сфериче-

ской поверхности электростатическое поле отсутст-

вует ( E = 0 ).

4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса

R с общим зарядом q заряжен равномерно с

объемной плоскостью ρ ( ρ = dqdV – заряд,

приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же

результат, что и в предыдущем случае. Внутри же шара напряженность поля бу-

дет другая. Сфера радиуса r′ < R охватывает заряд q′ = 4πr′3ρ3 . Поэтому, со-

гласно теореме Гаусса, 4πr′2E = q′ε0 = 4πr′3ρ3ε0 . Учитывая, что ρ = 3q4πR3 ,

получим

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описыва-

ется формулой (61.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r′ согласно

выражению (61.4).

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилин-

дра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью τ ( τ = dqdl – заряд,

приходящийся на единицу длины). Из соображений сим-

метрии следует, что линии напряженности будут направ-

лены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все сто-

роны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой h . Поток

этой области E = 0 . Таким образом, напряженность поля вне равномерно заря-

женного бесконечного цилиндра определяется выражением (61.5), внутри же его поле отсутствует.

Задача. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями, равномерно заряженными с поверхностными плотностями σ1 = σ и σ2 = −3σ. Найдите отношение напряженностей поля в области между плоскостя-

ми и в пространстве слева и справа от них.

и силовые линии направлены так, как это показано в нижней части рисунка.

Как видно из рисунка, силовые линии, создаваемые двумя плоскостями, в

области между ними направлены в одну сторону. Согласно принципу суперпози-

ции электрических полей, суммарное поле в этой области определяется формулой

Так как силовые линии электрических полей, создаваемых в пространстве вне плоскостей, направлены в противоположные стороны, то величина суммарного поля в этих областях определяется выражением

Тогда отношение величины электрического поля в области между плоскостями к величине поля вне этой области равно

Eвнут =

2 .

Eвнеш

Задача 2. Перпендикулярно длинному прямому проводу, равномерно заря-

женному с линейной плотностью t = 0,2 мкКл/м, на расстоянии a = 50 см поме-

щен диполь с электрическим моментом p = 20 мкКл×м. Найдите величину и на-

правление силы, действующей на диполь. Размеры диполя малы по сравнению с расстоянием до провода.

E = 1 τ , 2pe0 r

где ε0 – электрическая постоянная, r – расстояние от нити до рассматриваемой точки поля.

На диполь, находящийся в неоднородном электрическом поле, действует сила, проекция кото-

рой на радиальную координату r определяется вы-

ражением

F = p ∂E cos α,

r ∂r

где α – угол между направлениями векторов p и E . В нашем случае α = 0 . Опре-

делим степень неоднородности ∂E∂r электрического поля

Подставив все в формулу для проекции силы, получим

Подставим в полученное равенство числовые значения

Таким образом, сила, действующая на диполь в электрическом поле бесконечной

заряженной нити равна по величине F = 0,29 Н и направлена в сторону нити.

§ 62

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Так как dl cos α = dr , то

dA = 1 qq0 dr . 4πε0 r2

Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями на-

чальной 1 и конечной 2 точек.

Электростатическое поле точечного заряда является – потенциальным, а элек-

тростатические силы – консервативными.

Из формулы (62.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкну-

тому пути L , равна нулю, т.е.

Если в качестве заряда, переносимого в электрическом поле, взять единич-

ный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути

R

dl равна Edl = Eldl , где El = E cos α – проекция вектора E на направление эле-

ментарного перемещения. Тогда формулу (62.2) можно записать в виде

LL

R

Интеграл ∫ Edl = ∫ Eldl называется циркуляцией вектора напряженности.

LL

Силовое поле, обладающее свойством (62.3), называется потенциальным.

Из условия (62.3) следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же ухо-

дят в бесконечность.

Формула (62.3) справедлива только для электростатического поля и не вы-

полняется для поля движущегося заряда.

Задача. Положительные заряды Q1 = 10 мкКл и Q2 = 20 мкКл находятся в вакууме на расстоянии a = 3 м друг от друга. Какую нужно совершить работу,

§ 63

Потенциал электростатического поля

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q0 в на-

чальной и конечной точках поля заряда q

тростатических сил, совершаемая над зарядом q0 , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенци-

альная энергия U заряда q0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенци-

альной энергий Ui , создаваемых каждым из зарядов в отдельности

Из формулы (63.1) и (63.2) вытекает, что отношение Uq0 не зависят от q0

и является поэтому энергетической характеристикой электростатического

поля, называемого потенциалом

Потенциал ϕ в какой либо точке электростатического поля есть физическая ве-

личина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного за-

ряда, помещенного в эту точку.

Из формулы (63.4) и (63.2) следует, что потенциал поля, создаваемого то-

чечным зарядом q , равен

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определя-

ется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положи-

тельного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа сил поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 может быть за-

писана также в виде

Приравняв формулы (63.6) и (63.7), придем к выражению разности потенциалов

Работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению еди-

ничного положительного заряда при удалении его изданной точки поля в беско-

нечность

ϕ = A∞ q0 .

Из выражения (8.4) следует, что единица потенциала – вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной

энергией в 1 Дж (1 В = 1 ДжКл).

Из формулы (63.3) и (63.4) вытекает, что если поле создается несколькими

зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потен-

циалов полей всех этих зарядов