часть 1
.pdfДано: СИ: Решение:
V1 10м3
V1 V2 const
P1 |
0,1МПа |
105 Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P 0,3МПа |
3 105 Па |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
i 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
U ? |
|
|
|
|
Q |
2. |
Q ? |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
б) |
||
3. |
A ? |
|
|
|
||
|
|
|
рис.4 |
|||
|
|
|
|
|
1.Изменение внутренней энергии формула (4) из рекомендуемой задачи 3, с.45:
U 2i m R T .
Применим уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний газа и выразим температ уры:
|
P1 |
V1 |
|
|
m |
|
|
R T1 |
|
|
|
|
|
P1 V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
m R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m R T |
|
|
|
|
|
|
|
P2 V2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P V |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
m R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычтем из нижнего выражения верхнее: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
T T |
|
T |
P2 V2 |
|
|
P1 V1 |
(P P ) |
V1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m |
R |
|
|
|
m R |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
m R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
i |
|
m |
|
R (P |
P ) |
V1 |
|
|
|
|
i |
V (P |
P ) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведём вычисления (водород двухатомный газ и число степеней свободы i 5):
U 52 10 3 105 105 5 106 ( Дж) .
2.Работа газа по определению:
51
Так как процесс изохорический ( V const ):
A P V 0.
3. 1й способ. Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:
Q U A .
Учтём, что A 0 , тогда:
Q U 5 106 ( Дж) .
2й способ. Количество теплоты, переданное систе ме при постоянном объёме:
Q mcV T m |
i |
|
R |
T |
i |
m |
R T , |
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
(использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном объ ёме см. задача № 1, с.41 формула (3)), что также совпадает с формулой изменения внутренней энергии.
Ответ: U 5МДж, A 0, Q 5МДж.
|
Рекомендуемое задание № 6 |
|
Кислород при неизменном давлении |
P 80кПа нагревается. Его объем уве- |
|
личивается от V 1м3 |
до V 3м3 (рис.5). Определить изменение U внут- |
|
1 |
2 |
|
ренней энергии кислорода, работу |
A, совершенную им при расширении, а |
|
также теплоту Q , сообщенную газу. |
|
|
Дано: |
СИ: |
P 80кПа |
8 104 Па |
|
V 1м3 |
|
|
1 |
|
|
V 3м3 |
|
|
2 |
|
|
i 5 |
|
|
|
|
|
1. |
U ? |
|
2. |
A ? |
|
3. |
Q ? |
|
|
|
|
Решение:
1. Изобарный процесс ( P const ) |
V2 |
|||
|
||||
– процесс при постоянном дав- |
|
|||
|
||||
|
||||
лении. |
|
|
|
|
Изменение |
внутренней энергии |
|
||
|
||||
(задача 3, формула (4), с.45): |
Q |
|||
|
i |
m |
рис.5 |
|
U |
|
|
R T . |
|
2 |
|
Из уравнения Менделеева – Клапейрона (задача 3,
52
формула (2), с.45):
P V |
2 |
V |
P V m R T . |
(1) |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
Тогда изменение внутренней энергии:
U 2i P (V2 V1 ) .
Произведём вычисления (кислород двухатомный газ и число степеней свободы i 5):
U 52 8 104 (3 1) 40 104 400 103 ( Дж). 2. Работа газа по определению:
Ap (V2 V1 ) 8 104 3 1 16 104 160 103 ( Дж).
3.1й способ. Первое начало термодинамики для конечного состояния сис-
темы:
Q U A |
i |
P (V |
|
V ) P (V |
|
V ) i 2 |
P V |
|
V |
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(400 160) 105 560 103 ( Дж).
2й способ. Количество теплоты, переданное системе при постоянном давлении:
Q mcP T m i 2 |
|
R |
T i 2 |
R T , |
2 |
|
|
2 |
|
использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном давлении (см. задача № 1). Используем формулу (1):
Q i 2 m R T i 2 P V |
2 |
V , |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
что также совпадает с конечной формулой 1го способа.
Ответ: U 400кДж, A 160кДж, Q 560кДж .
Рекомендуемое задание № 7
В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m 0,6кг и занимающий объем V1 1,2м3 при температуре T1 560К (рис.6, а). В результате
53
нагревания газ расширился и занял объем V2 4,2м3 , причем температура осталась неизменной (рис.6, б). Найти изменение внутренней энергии газаU , совершенную им работу A и теплоту Q , сообщенную газу.
|
Дано: |
|
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
m 0,6кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 1,2м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 4,2м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T1 |
560К const |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N2 28 10 3 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
моль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
1. |
U ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
A ? |
|
|
|
|
|
а) |
|
б) |
||
3. |
Q ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Изотермический процесс (T const ) – процесс при постоянной температуре.
Изменение внутренней энергии (задача 3, формула (4), с.45):
U m cv T 2i m R T 0.
2. Элементарная работа газа по определению:
dA P dV .
Уравнение Менделеева – Клапейрона:
P V m R T , откуда давление:
P m R T ,
V
т.е. элементарная работа:
54
dA m R T dV .
V
Полная работа:
V2 |
m R T |
|
dV |
|
m RT |
ln |
V2 |
. |
A |
|
V |
|
V1 |
||||
V1 |
|
|
|
|
Подставим численные значения:
A |
0,6 8,31 560 |
ln |
4,2 |
99,72 103 ln3,5 99,7 103 1,253 |
|
28 10 3 |
|
1,2 |
|
125 103 125 103 ( Дж) .
3.Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:
Q U A .
Учтём, что U 0 , тогда: Q A 125 103 ( Дж).
Ответ: U 0, А 125кДж, Q 125кДж.
Рекомендуемое задание № 8
Водород массой m 4г , занимая первоначальный объем V1 0,1м3 , расширяется до V2 1м3 . Вычислить работу расширения при: 1) изотермическом; 2) адиабатическом; 3) изобарическом процессе. Начальная температура газа t 270 C .
|
Дано: |
|
|
СИ: |
||
m 4г |
|
|
|
|
4 10 3 кг |
|
V 0,1м3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
V2 1м3 |
|
|
|
|
300К |
|
t 270 C |
|
|
кг |
|
||
Н2 |
2 10 3 |
|
|
|||
|
моль |
|
||||
|
|
|
|
|
||
1. |
AT const |
? |
|
|
|
|
2. |
AQ 0 ? |
|
|
|
||
3. |
Ap const |
? |
|
|
|
Решение:
1. Изотермический процесс T const . Элементарная работа газа по определению:
dA P dV .
Уравнение Менделеева – Клапейрона:
P V m R T , откуда давление:
P m R T ,
V
55
т.е. элементарная работа:
dA m R T dV .
V
Полная работа:
|
V2 |
m R T |
|
dV |
|
m RT |
ln |
V2 |
. |
||||
A |
|
V |
|
|
|
V1 |
|||||||
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим численные значения: |
|
||||||||||||
A |
4 10 3 8,31 300 |
ln |
1 |
|
|
|
4986 ln10 4986 2,3 11480 |
||||||
|
2 10 3 |
|
|
0,1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11,5 103 ( Дж).
2.Адиабатический процесс (Q 0 ).
Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:
Q U A . Учтём процесс, тогда:
U A
или
|
A U |
i |
m R T . |
(1) |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
Используем уравнение Пуассона (адиабаты): |
|
||||
|
P V |
const . |
(2) |
||
Учтём уравнение Клапейрона - Менделеева: |
|
||||
PV m RT , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выразим давление: |
|
|
|
|
|
P m |
RT |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
и подставим в формулу (2):
m RT V const .
V
56
Перенесём постоянные m R в правую часть, тогда получим:
T V 1 const
или распишем её:
T1 V1 1 T2 V2 1 .
Откуда конечная температура через начальную и объёмы:
T |
T |
V |
|
1 |
1 |
|
, |
||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
Тогда изменение температуры:
|
Т T T |
T |
V |
1 |
|
, |
|
|||||
|
|
1 |
|
1 |
(3) |
|||||||
|
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
||
учтя, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i 2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
(4) |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
подставим выражения (3) и (4) в формулу (1), получим известную формулу работы:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R T |
|
|
V |
|
1 |
|
|
|
1 |
m R T |
|
V |
|
|
m 1 |
|
|
|
|||||||
A |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V2 |
|
|
V2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) равен отнош е- нию удельной (молярной) теплоёмкости при пос тоянном давлении к удельной (молярной) теплоёмкости при постоянном объёме (см. зад ачу № 1, с.40):
|
cp |
|
Cp |
|
i 2 |
|
5 |
2 |
1,4. |
cv |
Cv |
i |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Учли, что число степеней свободы i 5 , т.к. водород 2х атомная моле-
кула.
Подставим численные значения:
57
A |
8,31 300 |
|
4 |
10 |
3 |
|
|
0,1 |
1,4 1 |
|
12465 1 0,3981 |
|
1,4 1 |
2 |
10 |
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7503 7,5 103 ( Дж) .
3.Изобарический процесс P const . Работа газа по определению:
A P (V2 V1 ) .
Уравнение Менделеева – Клапейрона для начального состояния газа:
PV1 m RT1 , выразим давление:
P |
m |
|
RT1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда работа расширения газа: |
|
|
|
|||||||||||||
A m |
|
R T1 |
(V |
2 |
V ). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим численные значения: |
|
|
|
|||||||||||||
A |
4 10 |
3 |
|
8,31 300 |
(1 0,1) 44874 45 10 |
3 |
( Дж) . |
|||||||||
2 10 |
3 |
0,1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: A1 11,5кДж, A2 7,5кДж, A3 45кДж. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуемое задание № 9 |
||||
Расширяясь, водород совершил работу |
A 6кДж , определить количество |
теплоты, подведенное к газу, если процесс протекал: 1) изобарически, 2) из о- термически.
Дано: |
СИ: |
A 6кДж |
6 103 Дж |
i 5
1.P const
2.T const
Q ?
Решение:
1. Изобарный процесс - постоянное давление ( P const ).
1й способ. Первое начало термодинамики
для конечного состояния системы:
Q U A .
58
Работа и изменение внутренней энергии находятся по следующим формулам:
|
m |
R T |
|
|||
A P V |
|
|
||||
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
i |
m |
||
U m cv T |
R T |
|||||
|
||||||
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
Выразить изменение внутренней энергии можно через работу газа:
U 2i A,
подставим в основную формулу и учтём, что число степеней свободы i 5, т.к. водород 2х атомная молекула.
Q |
i |
A А |
i 2 |
A |
5 2 |
6 103 |
21 103 ( Дж) . |
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
2й способ. Количество теплоты, переданное системе при постоянном давлении:
Q mcP T m i 2 |
|
R |
T i 2 |
m |
R T , |
2 |
|
|
2 |
|
|
использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном давл е- нии (см. задача № 1, с.41). Используя формулу работы полученной в 1м способе:
Q i 2 |
m |
R T i 2 |
A, |
2 |
|
2 |
|
что также совпадает с конечной формулой 1 го способа.
2. Изотермический процесс – постоянная температура ( T const ). Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:
Q U A .
Изменение внутренней энергии равно нулю, это видно из 1й части задачи:
U m cv T 0 .
Тогда количество теплоты, подведенное к газу, равно работе системы: Q A 6 103 ( Дж).
Ответ: Q1 21кДж, Q2 6кДж.
59
Рекомендуемое задание № 10
Углекислый газ, находившийся под давлением P1 100кПа при температуре
T1 290К (рис.7, а), был адиабатически сжат до давления P2 |
200кПа |
||||||||||
(рис.7, б). Какова температура T2 газа после сжатия? |
|
|
|
|
|||||||
Дано: |
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
P1 100кПа |
|
105 Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T1 290К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 200кПа |
|
2 105 Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
рис.7 |
|
|
|
|
|
Уравнение Пуассона для адиабатического процесса: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
P V const , |
(1) |
||||||
где |
– показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) равен отнош е- |
нию удельной (молярной) теплоёмкости при постоянном давлении к удел ь- ной (молярной) теплоёмкости при постоян ном объёме (см. задачу № 1, с.40):
|
cp |
|
Cp |
|
i 2 |
|
6 2 |
|
4 |
. |
|
cv |
Cv |
i |
6 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Учли, что число степеней свободы i 6, т.к. углекислый газ 3х атомная молекула. Распишем уравнение Пуассона:
учтём уравнение Клапейрона - Менделеева: PV m RT ,
выразим объём:
Vm RT
P
иподставим в формулу (1):
60