Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

часть 1

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
545.64 Кб
Скачать

Дано: СИ: Решение:

V1 10м3

V1 V2 const

P1

0,1МПа

105 Па

 

 

 

 

 

 

 

 

P 0,3МПа

3 105 Па

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

i 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

U ?

 

 

 

 

Q

2.

Q ?

 

 

 

 

 

 

а)

 

б)

3.

A ?

 

 

 

 

 

 

рис.4

 

 

 

 

 

1.Изменение внутренней энергии формула (4) из рекомендуемой задачи 3, с.45:

U 2i m R T .

Применим уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояний газа и выразим температ уры:

 

P1

V1

 

 

m

 

 

R T1

 

 

 

 

 

P1 V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

m R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m R T

 

 

 

 

 

 

 

P2 V2

 

 

 

 

 

 

 

P V

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

m R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычтем из нижнего выражения верхнее:

 

 

 

 

 

 

T T

 

T

P2 V2

 

 

P1 V1

(P P )

V1

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

m

R

 

 

 

m R

 

 

 

 

 

2

1

 

m R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

i

 

m

 

R (P

P )

V1

 

 

 

 

i

V (P

P ) .

 

 

 

 

 

 

m R

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведём вычисления (водород двухатомный газ и число степеней свободы i 5):

U 52 10 3 105 105 5 106 ( Дж) .

2.Работа газа по определению:

51

Так как процесс изохорический ( V const ):

A P V 0.

3. 1й способ. Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:

Q U A .

Учтём, что A 0 , тогда:

Q U 5 106 ( Дж) .

2й способ. Количество теплоты, переданное систе ме при постоянном объёме:

Q mcV T m

i

 

R

T

i

m

R T ,

2

 

2

 

 

 

 

 

(использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном объ ёме см. задача № 1, с.41 формула (3)), что также совпадает с формулой изменения внутренней энергии.

Ответ: U 5МДж, A 0, Q 5МДж.

 

Рекомендуемое задание № 6

Кислород при неизменном давлении

P 80кПа нагревается. Его объем уве-

личивается от V 1м3

до V 3м3 (рис.5). Определить изменение U внут-

1

2

 

ренней энергии кислорода, работу

A, совершенную им при расширении, а

также теплоту Q , сообщенную газу.

 

 

Дано:

СИ:

P 80кПа

8 104 Па

V 1м3

 

1

 

 

V 3м3

 

2

 

 

i 5

 

 

 

 

1.

U ?

 

2.

A ?

 

3.

Q ?

 

 

 

 

Решение:

1. Изобарный процесс ( P const )

V2

 

– процесс при постоянном дав-

 

 

 

лении.

 

 

 

 

Изменение

внутренней энергии

 

 

(задача 3, формула (4), с.45):

Q

 

i

m

рис.5

U

 

 

R T .

2

 

Из уравнения Менделеева – Клапейрона (задача 3,

52

формула (2), с.45):

P V

2

V

P V m R T .

(1)

 

1

 

 

 

 

 

Тогда изменение внутренней энергии:

U 2i P (V2 V1 ) .

Произведём вычисления (кислород двухатомный газ и число степеней свободы i 5):

U 52 8 104 (3 1) 40 104 400 103 ( Дж). 2. Работа газа по определению:

Ap (V2 V1 ) 8 104 3 1 16 104 160 103 ( Дж).

3.1й способ. Первое начало термодинамики для конечного состояния сис-

темы:

Q U A

i

P (V

 

V ) P (V

 

V ) i 2

P V

 

V

 

2

2

2

 

2

 

1

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(400 160) 105 560 103 ( Дж).

2й способ. Количество теплоты, переданное системе при постоянном давлении:

Q mcP T m i 2

 

R

T i 2

R T ,

2

 

 

2

 

использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном давлении (см. задача № 1). Используем формулу (1):

Q i 2 m R T i 2 P V

2

V ,

2

2

1

 

 

что также совпадает с конечной формулой 1го способа.

Ответ: U 400кДж, A 160кДж, Q 560кДж .

Рекомендуемое задание № 7

В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m 0,6кг и занимающий объем V1 1,2м3 при температуре T1 560К (рис.6, а). В результате

53

нагревания газ расширился и занял объем V2 4,2м3 , причем температура осталась неизменной (рис.6, б). Найти изменение внутренней энергии газаU , совершенную им работу A и теплоту Q , сообщенную газу.

 

Дано:

 

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

m 0,6кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 1,2м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 4,2м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

560К const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2 28 10 3

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

1.

U ?

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

A ?

 

 

 

 

 

а)

 

б)

3.

Q ?

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Изотермический процесс (T const ) – процесс при постоянной температуре.

Изменение внутренней энергии (задача 3, формула (4), с.45):

U m cv T 2i m R T 0.

2. Элементарная работа газа по определению:

dA P dV .

Уравнение Менделеева – Клапейрона:

P V m R T , откуда давление:

P m R T ,

V

т.е. элементарная работа:

54

dA m R T dV .

V

Полная работа:

V2

m R T

 

dV

 

m RT

ln

V2

.

A

 

V

 

V1

V1

 

 

 

 

Подставим численные значения:

A

0,6 8,31 560

ln

4,2

99,72 103 ln3,5 99,7 103 1,253

 

28 10 3

 

1,2

 

125 103 125 103 ( Дж) .

3.Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:

Q U A .

Учтём, что U 0 , тогда: Q A 125 103 ( Дж).

Ответ: U 0, А 125кДж, Q 125кДж.

Рекомендуемое задание № 8

Водород массой m 4г , занимая первоначальный объем V1 0,1м3 , расширяется до V2 1м3 . Вычислить работу расширения при: 1) изотермическом; 2) адиабатическом; 3) изобарическом процессе. Начальная температура газа t 270 C .

 

Дано:

 

 

СИ:

m 4г

 

 

 

 

4 10 3 кг

V 0,1м3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

V2 1м3

 

 

 

 

300К

t 270 C

 

 

кг

 

Н2

2 10 3

 

 

 

моль

 

 

 

 

 

 

1.

AT const

?

 

 

 

2.

AQ 0 ?

 

 

 

3.

Ap const

?

 

 

 

Решение:

1. Изотермический процесс T const . Элементарная работа газа по определению:

dA P dV .

Уравнение Менделеева – Клапейрона:

P V m R T , откуда давление:

P m R T ,

V

55

т.е. элементарная работа:

dA m R T dV .

V

Полная работа:

 

V2

m R T

 

dV

 

m RT

ln

V2

.

A

 

V

 

 

 

V1

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

A

4 10 3 8,31 300

ln

1

 

 

 

4986 ln10 4986 2,3 11480

 

2 10 3

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

11,5 103 ( Дж).

2.Адиабатический процесс (Q 0 ).

Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:

Q U A . Учтём процесс, тогда:

U A

или

 

A U

i

m R T .

(1)

 

 

 

 

2

 

 

Используем уравнение Пуассона (адиабаты):

 

 

P V

const .

(2)

Учтём уравнение Клапейрона - Менделеева:

 

PV m RT ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выразим давление:

 

 

 

 

P m

RT

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

и подставим в формулу (2):

m RT V const .

V

56

Перенесём постоянные m R в правую часть, тогда получим:

T V 1 const

или распишем её:

T1 V1 1 T2 V2 1 .

Откуда конечная температура через начальную и объёмы:

T

T

V

 

1

1

 

,

2

1

 

 

 

 

 

V2

 

 

Тогда изменение температуры:

 

Т T T

T

V

1

 

,

 

 

 

1

 

1

(3)

 

 

2 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

 

 

 

учтя, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i 2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

1

 

,

 

 

 

(4)

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подставим выражения (3) и (4) в формулу (1), получим известную формулу работы:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

R T

 

 

V

 

1

 

 

 

1

m R T

 

V

 

 

m 1

 

 

 

A

 

 

1

 

 

1

1

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) равен отнош е- нию удельной (молярной) теплоёмкости при пос тоянном давлении к удельной (молярной) теплоёмкости при постоянном объёме (см. зад ачу № 1, с.40):

 

cp

 

Cp

 

i 2

 

5

2

1,4.

cv

Cv

i

5

 

 

 

 

 

 

 

Учли, что число степеней свободы i 5 , т.к. водород 2х атомная моле-

кула.

Подставим численные значения:

57

A

8,31 300

 

4

10

3

 

 

0,1

1,4 1

 

12465 1 0,3981

1,4 1

2

10

 

3

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7503 7,5 103 ( Дж) .

3.Изобарический процесс P const . Работа газа по определению:

A P (V2 V1 ) .

Уравнение Менделеева – Клапейрона для начального состояния газа:

PV1 m RT1 , выразим давление:

P

m

 

RT1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда работа расширения газа:

 

 

 

A m

 

R T1

(V

2

V ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

 

 

A

4 10

3

 

8,31 300

(1 0,1) 44874 45 10

3

( Дж) .

2 10

3

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: A1 11,5кДж, A2 7,5кДж, A3 45кДж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуемое задание № 9

Расширяясь, водород совершил работу

A 6кДж , определить количество

теплоты, подведенное к газу, если процесс протекал: 1) изобарически, 2) из о- термически.

Дано:

СИ:

A 6кДж

6 103 Дж

i 5

1.P const

2.T const

Q ?

Решение:

1. Изобарный процесс - постоянное давление ( P const ).

1й способ. Первое начало термодинамики

для конечного состояния системы:

Q U A .

58

Работа и изменение внутренней энергии находятся по следующим формулам:

 

m

R T

 

A P V

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

i

m

U m cv T

R T

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Выразить изменение внутренней энергии можно через работу газа:

U 2i A,

подставим в основную формулу и учтём, что число степеней свободы i 5, т.к. водород 2х атомная молекула.

Q

i

A А

i 2

A

5 2

6 103

21 103 ( Дж) .

2

2

2

 

 

 

 

 

2й способ. Количество теплоты, переданное системе при постоянном давлении:

Q mcP T m i 2

 

R

T i 2

m

R T ,

2

 

 

2

 

 

использовали понятие удельной теплоёмкости при постоянном давл е- нии (см. задача № 1, с.41). Используя формулу работы полученной в 1м способе:

Q i 2

m

R T i 2

A,

2

 

2

 

что также совпадает с конечной формулой 1 го способа.

2. Изотермический процесс – постоянная температура ( T const ). Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:

Q U A .

Изменение внутренней энергии равно нулю, это видно из 1й части задачи:

U m cv T 0 .

Тогда количество теплоты, подведенное к газу, равно работе системы: Q A 6 103 ( Дж).

Ответ: Q1 21кДж, Q2 6кДж.

59

Рекомендуемое задание № 10

Углекислый газ, находившийся под давлением P1 100кПа при температуре

T1 290К (рис.7, а), был адиабатически сжат до давления P2

200кПа

(рис.7, б). Какова температура T2 газа после сжатия?

 

 

 

 

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1 100кПа

 

105 Па

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 290К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2 200кПа

 

2 105 Па

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.7

 

 

 

 

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса:

 

 

 

 

 

 

 

 

P V const ,

(1)

где

показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) равен отнош е-

нию удельной (молярной) теплоёмкости при постоянном давлении к удел ь- ной (молярной) теплоёмкости при постоян ном объёме (см. задачу № 1, с.40):

 

cp

 

Cp

 

i 2

 

6 2

 

4

.

cv

Cv

i

6

3

 

 

 

 

 

 

Учли, что число степеней свободы i 6, т.к. углекислый газ 3х атомная молекула. Распишем уравнение Пуассона:

учтём уравнение Клапейрона - Менделеева: PV m RT ,

выразим объём:

Vm RT

P

иподставим в формулу (1):

60