Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

часть 2

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
463.44 Кб
Скачать

III. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Занятие № 5 «Длина свободного пробега и число столкновений мол екул. Диффузия. Вязкость. Теплопроводность»

Рекомендуемое задание № 1

Найти среднюю длину свободного пробега молекулы водорода при давлении P 0,001мм рт.ст. и температуре t 1730 C .

 

 

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

P 0,001мм рт.ст.

 

0,133Па

 

Средняя длина свободного пробега мо-

t 1730 C

 

100К

 

лекул

 

 

находится по формуле:

 

d 0,23нм

 

2,3 10 10 м

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 n

 

 

 

 

 

2

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость давления от концентрации и температуры:

P nkT , откуда концентрация:

n kTP ,

тогда средняя длина свободного пробега молекул:

 

 

 

 

 

k T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

d 2 P

 

 

2

 

 

где d - эффективный диаметр молекулы ; P - давление газа ; k - посто-

янная Больцмана ( k 1,38 10

23 Дж );

T - термодинамическая температура.

 

 

 

 

 

 

 

К

 

Подставим в формулу числовые значения физических величин и прои зведем вычисления:

 

 

 

 

1,38 10 23

100

 

1,38 10

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,044(м).

 

 

 

 

 

2 3,14 5,29 10 20 0,133

3,126

 

 

 

 

 

Примечание: d 0,28нм в “Сборнике задач по физике” под редакцией А.Г. Чертова, тогда 3см .

1

Ответ: 4,4см .

Рекомендуемое задание № 2

Найти число столкновений Z , которые происходят в течение секунды ме жду

всеми молекулами, находящимися в объеме V 1мм3

водорода при нормаль-

ных условиях. Принять эффективный диаметр

молекулы водорода

d 2,3 10 10 м .

 

Дано:

 

СИ:

V 1мм3

 

 

 

10 9 м3

d 2,3 10 10 м

2 10

3

 

кг

 

моль

 

 

t 1с

 

 

 

 

P0 1,01 105 Па

T0 273К

R 8,31

Дж

 

моль К

 

 

 

 

 

 

Z ?

 

 

Решение:

Число полных столкновений между молекулами вычисляется по формуле:

 

Z 1

 

N ,

(1)

 

Z

 

2

 

 

 

 

где

N – число молекул в еденице объема

выразим

через концентрацию n ;

 

- среднее

Z

число соударений одной молекулы в единицу времени:

N nV ,

Z .

Подставив в (1) выражения N и

 

 

 

, получим:

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

n

 

V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Средняя арифметическая скорость определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 R T

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а средняя длина свободного пробега молекул

 

 

по формуле:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив данные выражения в (2), получим:

 

 

 

 

 

 

1 n V

 

 

 

 

 

 

 

n2 V d 2 .

 

Z

 

8 R T

 

d 2 n 2

R T

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Зависимость давления от концентрации и температуры:

P nkT , откуда концентрация:

n kTP .

Тогда окончательная расчётная формула примет вид:

Z 2

R T

 

P 2 d 2 V .

 

 

 

k 2 T 2

Подставим численные значения:

Z

2

8,31 273 3,14

1,012

1010 2,32 10 20 10 9

 

 

 

2 10 3

 

2732 1,382 10 46

2

 

 

5,396 1027

,

 

 

3561749,1

 

 

 

 

141933

 

 

Z 2 1887,3 3,8 1022 14351 1022 1,44 1026 (с 1

Ответ: Z 1,44 1026 с 1 .

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуемое задание № 3

 

Найти объем, который занимает азот массой

 

 

 

m 0,7г , если средняя длина

свободного пробега молекул в нем составляет

 

 

 

10 7 м .

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

СИ:

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 0,7г

 

 

7 10 4 кг

Средняя длина свободного пробега молекул

 

d 3 10 10 м

 

 

 

 

 

находится по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

28 10 3

 

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 n

 

 

10 7 м

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Концентрация молекул по определению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Количество вещества выразим двояко:

 

 

 

 

 

 

 

 

3

m N ,

N A откуда число молекул:

N m N A ,

тогда концентрация молекул:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

m

 

N A

.

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим формулу (2) в (1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π d 2 m N A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда объём:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π d 2 m N A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,14 32 10 20

7 10 4

6,02 10

23 10

7

1685 10

5

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60 10 5

(м3 ) .

 

 

 

 

 

28 10 3

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание: d 0,38нм в “Сборнике задач по физике” под редакцией А.Г. Чертова, тогда V 0,966л .

Ответ: V 0,6л .

Рекомендуемое задание № 4

Определить среднюю длину и время свободного пробега молекул кисл о- рода при давлении P 200Па и температуре t 270 C , если диаметр молекулы кислорода d 2,9 10 10 м .

4

 

 

 

Дано:

 

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

P 200Па

 

 

 

 

1. Средняя длина свободного пробега моле-

t 270 C

 

 

300К

 

 

кул

 

 

находится по формуле:

 

d 2,9 10 10 м

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 n

32 10 3

кг

 

 

2

моль

 

 

Зависимость давления от концентрации и тем-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пературы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P nkT ,

2.

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда концентрация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n kTP ,

тогда средняя длина свободного пробег а молекул:

 

 

 

 

k T

 

 

 

 

 

.

 

 

d 2 P

2

2. Время свободного пробега молекул находится по формуле:

.

Средняя скорость пробега молекул:

8RT ,

тогда время свободного пробега:

τ

 

kT

 

π μ

 

kT

 

 

μ

 

.

 

 

 

8RT

4d 2 P

 

 

 

2πd 2 P

 

 

 

 

πRT

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

1,38 10 23 300

 

 

 

 

4,14 10

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0554 10 3

5,54 10 5 (м) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3,14 2,92 10 20

200

74,73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,38 10

23 300

 

 

 

32 10

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0615 10 3

 

 

4,0858 10 6 ,

4 2,92 10 20 200

 

 

3,14 8,31

300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,15 10 5

2,02 10 3

12,4 10 8 1,24 10 7 (с) .

 

 

 

 

Примечание: Можно проще:

5

 

 

 

μ

 

 

3,14 32 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,54 10 5

 

5,54 10 5

 

5 10 6

 

8RT

8 8,31 300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,54 10 5

2,245 10 3 12,4 10 8

1,24 10 7 (с).

 

 

 

Ответ:

 

5,54 10 5 м;

1,24 10 7 с .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуемое задание № 5

Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных услов иях

равна 180нм. Определить диффузию Д гелия.

 

 

 

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

T0 273К

 

 

 

 

Коэффициент диффузии Д определяется

 

 

180нм

 

 

1,8 10 7 м

 

по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

кг

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 10 3

 

 

 

 

 

Д

3

,

 

моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где средняя скорость:

 

Д ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8RT

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конечная формула примет вид:

Д 13 8πμRT .

Подставим в формулу числовые значения физических величин и произв едем вычисления:

Д

1

1,8 10 7

 

 

8 8,31 273

 

0,6 10 7

 

 

 

 

1,444255 106

3

3,14 4 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

0,6 10 4 1,20177 7,21 10 5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

Ответ: Д 7,21 10

5

м2

.

 

 

 

с

6

Рекомендуемое задание № 6

Пространство между двумя цилиндрами заполнено водородом при t 170 C . Радиус внешнего цилиндра r1 10,5см , радиус внутреннего цилиндра

r2 10см . Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью 15 миноб .

Длина цилиндров 30см (рис.1). Эффектами у оснований цилиндров мо ж- но пренебречь. Эффективный диаметр молекулы водорода d 2,3 10 8 см . Какой момент сил нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он о с- тался неподвижным?

 

Дано:

 

СИ:

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 170 C

 

290К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 10 3

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

10,5см

 

0,105м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

10см

 

0,1м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30см

 

0,3м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

2,3 10 10 м

 

 

 

 

 

 

 

d 2,3 10 8 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

об

 

 

 

 

1

 

 

 

 

F

 

 

 

15 мин

 

0,25с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.1

Момент сил определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М F r1 ,

 

(1)

 

знак «-» показывает, что момент противодейс твует.

 

 

 

 

По закону Ньютона сила внутреннего трения между движущимися

слоями газа – производная импульса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F dp

 

d

S ,

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

dz

 

 

 

- коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость

газа), он зависит от плотности газа , средней арифметической скорости м о-

7

лекул и средней длины свободного пробега молекул . Эта зависимость имеет вид:

13 .

Градиент (изменение) скорости течения слоёв:

d

 

 

 

0

 

 

 

 

2 r2

,

dz

 

z

 

r r

 

r r

 

r r

 

 

 

 

 

2

1

 

2

1

 

2

1

 

z - расстояние между двумя цилиндрами, считаем, что скорость у н е- подвижного цилиндра равна нулю. Линейную скорость внешнего цилиндра выразили через угловую скорость, а её через частоту :

r2 2 r2 .

Площадь поверхности неподвижного (внутреннего) цилиндра:

S Sцилиндра 2 r1 .

Подставляя все значения в формулу (2), получим:

F 1

 

 

 

 

 

 

1

2 r2

 

 

2 r

 

2 r

 

 

3 r2 r1

1

3

1

 

 

 

 

 

r2 r1

1 4 2 r1r2 . 3 r2 r1

Средняя длина свободного пробега молекул находится по формуле:

 

 

 

1

 

 

 

k T

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

d 2 P

2 d 2 n

2

учли зависимость давления от концентрации и температуры:

P nkT .

Средняя скорость:

8RT .

Плотность газа, с учётом уравнения Менделеева - Клапейрона:

Vm RTP .

Подставим в формулу силы в (1), с учётом , , тогда конечная формула:

8

 

 

 

1

 

4 2 r1 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

r

 

 

 

r2 r1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4 2 r1 r2

 

 

P

 

 

 

 

 

 

k T

 

 

 

 

 

 

 

8RT

 

 

 

r .

3

 

r2 r1

 

RT

 

 

 

 

 

d 2 P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

Сократим T , ;

 

 

8

 

2 ; внесём под корень

R , и :

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8k r2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

T

 

 

 

 

 

 

 

3d 2 (r r )

 

R .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

8 1,38 10 23

0,25 10

2 0,105 0,3

 

 

 

 

M

 

290 3,14 2 10

3

3

2,32 10 20

(0,105 0,1)

8,31

,

 

 

 

 

0,08694 10 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

219,3 10 3

1,09565 10 5 0,4683

0,07935

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,13 10 6 (H м).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8k r2 r

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: M

T

5,13 10 6 H м .

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

3d 2

(r r )

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуемое задание № 7

Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях, е с-

ли коэффициент диффузии для него при этих условиях равен 1,42 10

5

м2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д 1,42 10

5

м

2

 

 

 

 

1 способ: Коэффициент диффузии Д определяется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P0

1,01 105 Па

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

.

 

 

 

T0

273К

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 2 1,25

кг

 

 

 

 

 

Коэффициент внутреннего трения (динамическая

 

 

 

 

 

вязкость газа) :

 

 

 

м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кг

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28 10 3

 

 

 

 

3 .

 

 

 

моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Д .

Подставим численные значения:

1,42 10 5 1,25 17,75 10 6 (Па с) .

2 способ: Плотность газа, с учётом уравнения Менделеева - Клапейрона:

Vm RTP . Тогда:

η RTP D .

Подставим численные значения:

1,01 105 28 10-3 1,42 10 5 0,01247 102 1,42 10 5 , 8,31 273

0,0177 10 3 Па с 17,7 10 6 (Па с).

Ответ: 17,7 10 6 Па с .

Рекомендуемое задание № 8

Найти коэффициент внутреннего трени я газа, имеющего молекулярную ма с- су M r и эффективный диаметр молекулы d , при температуре T и давлении

P .

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M r

 

 

 

Коэффициент внутреннего трения (динамическая

d

 

 

 

вязкость газа) :

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(1)

P

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотность газа, с учётом уравнения Менделеева - Клапейрона:

Vm RTP .

Средняя скорость:

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.