часть 2
.pdf
8RT .
Средняя длина свободного пробега молекул находится по формуле:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
d 2 n |
|||
2 |
|||||
Зависимость давления от концентрации и температуры:
P nkT , откуда концентрация:
n kTP ,
тогда средняя длина свободного пробега м олекул:
|
|
|
|
|
|
|
|
k T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
d 2 P |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставим всё в формулу (1): |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k T |
|
|||||||
|
|
|
|
|
8RT |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
2 d 2 P |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
Сократим T , P ; |
|
|
8 |
; внесём под корень R и : |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2k |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Молярная масса связана с молекулярной следующим соотношением:
M r k M r 10 3 ,
тогда коэффициент внутреннего трения:
|
2k |
|
TM r 10 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
R . |
|
|
||||
3 d 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
TM r 10 |
3 |
||||||
|
|
|
R . |
||||||
3 d 2 |
|
|
|||||||
11
Рекомендуемое задание № 9
Между двумя металлическими стенками, имеющими температуры t1 200 C и t2 300 C , зажаты сложенные вплотную деревянная пластинка толщиной1 3см и стеклянная пластинка толщиной 2 2см . Пренебрегая скачком температуры в местах соприкосновения разных материалов, определить те м-
пературу t0 |
поверхности соприкосновения стекла и дерева (рис.2). Коэфф и- |
||||||||||||||||
циент теплопроводности дерева |
|
д 0,45 |
|
Дж |
, коэффициент теплопро- |
||||||||||||
|
м с К |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
водности стекла с 0,72 |
Дж |
|
. Потерями тепла на боковых стенках мо ж- |
||||||||||||||
м с К |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
но пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Дано: |
|
|
|
Си: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t |
200 C |
|
|
|
|
293К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
300 C |
|
|
|
|
303К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
3см |
|
|
|
|
0,03м |
|
|
|
|
1 |
|
|
t0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0,02м |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дж |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
д |
0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
м с К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с |
0,72 |
|
Дж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.2 |
||||
|
м с К |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t 0 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Закон Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Q dТ S t |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
где Q – количество теплоты, прошедшее посредством теплопрово д- |
||||||||||||||||
ности через сечение площадью S |
|
за время t . |
|
|
|||||||||||||
Градиент (изменение) температуры: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dТ |
|
Т |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dх |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в нашем случае конечные изменение температуры и толщины. Тогда:
12
Q Т S t .x
Для нашей ситуации – через дерево и стекло проходящее количество теплоты от нижней металлической стенки к верхней одинаковое, т.е.:
Q2 |
2 |
|
Т 2 Т 0 |
S t , |
|
||||
|
|
|
2 |
|
Q1 1 Т 0 Т1 S t .
1
Так как они одинаковы ( Q2 Q1 ) приравняем правые части:
|
Т0 Т1 |
S t |
|
|
Т2 Т0 |
S t . |
|
|
|
||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
||
Сократим на знак «–», площадь S и время t , решим пропорцию:
1T0 2 1T1 2 2T2 1 2T0 1 ,
перенесём сомножители содержащие T0 в одну сторону, остальные в другую:
1T0 2 2T0 1 2T2 1 1T1 2 .
Вынесем за скобки T0 и выразим её:
T 2Т2 1 1Т1 2 . |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
1 2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим численные значения: |
|
|
|
|||||
T |
|
0,45 293 2 10 3 |
0,72 303 3 10 3 |
|
263,7 654,48 |
|
||
|
0,72 3 10 3 |
0,45 2 10 3 |
2,16 0,9 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
918,18 300,059(К ) . |
|
|
|
||||
|
|
3,06 |
|
|
|
|
||
Переведём Кельвины в градусы Цельсия: |
|
|
|
|||||
t |
0 |
T |
273 300,059 273 27,059 27,06(0 C) . |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: t0 27,060 C .
13
Рекомендуемое задание № 10
Вычислить теплопроводность гелия при нормальных условиях.
Дано: |
|
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
T0 273К |
|
|
|
|
Коэффициент теплопроводности (теплопровод- |
||||||||||||
d 2,2 10 10 м |
|
|
ность) по определению: |
|
|
|
|
||||||||||
4 10 |
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cV |
|
. |
(1) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
моль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Удельная теплоёмкость: |
|
|||||||||
? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
M |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность газа, с учётом уравнения Менделеева - Клапейрона:
Vm RTP .
Средняя скорость:
8RT .
Средняя длина свободного пробега молекул находится по формуле:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
d 2 n |
|||
2 |
|||||
Зависимость давления от концентрации и температуры:
P nkT , откуда концентрация:
n kTP ,
тогда средняя длина свободного пробега молекул:
|
|
|
|
k T |
|
|
|
||||
|
|
|
. |
||
|
|
d 2 P |
|||
2 |
|||||
Подставим всё в формулу (1):
|
1 |
|
i |
|
R |
|
P |
|
|
|
|
|
k T |
|
|
|
|
|
|
|
8RT |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
2 |
M |
RT |
2 d 2 P |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14
Сократим R , P , , T и 
82 2 :
|
i |
|
k |
|
RT |
, |
|
3 |
d 2 |
|
|||||
|
|
|
|
где i 3 - число степеней свободы для гелия. Подставим численные значения:
|
3 |
|
|
1,38 10 23 |
|
|
8,31 273 |
|
|
1,38 10 3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180,532 10 |
|
, |
|
3 |
3,14 2,22 10 20 |
3,14 4 10 3 |
15,2053 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0,091 |
10 |
3 |
424,89 |
38,56 10 |
3 |
|
|
|
мВт |
|
|
|
|
|||||
|
|
38,56 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м К |
|
|
|
|
Ответ: 38,56 мВт .
м К
Домашнее задание № 1
В сосуде V 0,5л находится O2 при нормальных условиях. Найти общее число столкновений между молекулами O2 в этом объеме за 1с .
Дано: |
|
СИ: |
|
V 0,5л |
|
5 10 4 м3 |
|
32 10 3 |
кг |
|
|
моль |
|||
|
|||
T 273К |
|
|
|
P 1,01 105 Па t 1c
d 3,6 10 10 м
Z ?
N nV ,
Z .
Подставив в (1) выражения
Решение:
Число полных столкновений между мо-
лекулами вычисляется по формуле: |
|
|||
Z 1 |
|
N , |
(1) |
|
Z |
||||
2 |
|
|
|
|
где N – число молекул в еденице объе- |
||||
ма выразим через концентрацию n ; |
|
- сред- |
||
Z |
||||
нее число соударений одной молекулы в ед и- ницу времени:
N и Z , получим:
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
n |
|
V . |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Средняя арифметическая скорость определяется по формуле: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 R T |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а средняя длина свободного пробега молекул |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
по формуле: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставив данные выражения в (2), получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 n V |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 V d 2 . |
|||||||||||||
|
Z |
|
8 R T |
|
|
d 2 n 2 |
R T |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зависимость давления от концентрации и температуры:
P nkT , откуда концентрация:
n kTP .
Тогда окончательная расчётная формула примет вид:
Z 2 |
R T |
|
P 2 d 2 V . |
|
|
|||||
|
|
|
|
k 2 T 2 |
|
|
||||
Подставим численные значения: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1,012 1010 3,62 10 20 5 10 4 |
|||||
Z 2 |
8,31 273 3,14 |
|||||||||
|
|
|
32 10 3 |
1,382 10 46 2732 |
||||||
2 |
|
|
66,10248 1032 |
, |
|
|||||
|
222722,2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
141933 |
|
|
||
Z |
2 471,935 4,6573 1028 |
4395,9 1028 4,4 1031 (c 1 ) . |
||||||||
Примечание: d 0,3нм |
в “Сборнике задач по физике” под редакцией |
|||||||||
Волькенштейна, тогда |
Z 3,05 1031 c 1 ; |
d 0,29нм в “Методических указа- |
||||||||
ниях для |
|
студентов |
заочников” |
под |
редакцией А.Г. Чертова, тогда |
|||||
Z 2,85 1031 c 1 .
Ответ: Z 4,4 1031 c 1 .
16
Домашнее задание № 2
Найти коэффициент диффузии Д молекулы водорода при нормальных усл о- виях, если средняя длина пробега молекул при этих услов иях равна 0,16мкм .
Дано: |
|
Си: |
|
Решение: |
|||||
|
|
||||||||
0,16мкм |
|
1,6 10 7 м |
|
Коэффициент диффузии Д определяется по |
|||||
T 273К |
|
|
|
формуле: |
|||||
P 1,01 105 Па |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 10 3 |
кг |
|
|
|
Д 3 . |
||||
моль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя арифметическая скорость определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8 R T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д |
|
|
8 R T |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим численные значения: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1700 1,6 10 7 |
|
|||||||
|
Д |
|
|
|
8 8,31 273 |
|
1,6 10 7 |
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3,14 2 10 3 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|||
906 |
10 7 9,1 |
10 5 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||
Ответ: Д 9,1 10 5 |
м2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 3 |
|
||||||
Цилиндр радиусом R1 |
10см и длиной 30см расположен внутри цилинд- |
|||||||||||||||||||
ра радиусом |
R2 10,5см так, что оси обоих цилиндров совпадают. Малый |
|||||||||||||||||||
цилиндр неподвижен, большой вращае тся относительно геометрической оси
17
с частотой n 15с 1 (рис.3). Динамическая вязкость |
газа, в котором нахо- |
|||||||
дятся цилиндры, равна 8,5мкПа с . Определить: 1) |
касательную силу F , |
|||||||
действующую на поверхность цилиндра площадью |
|
S 1м2 ; 2) вращающий |
||||||
момент M , действующий на этот цилиндр. |
|
|
|
|||||
|
Дано: |
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
||||
R1 10см |
|
0,1м |
|
|
|
R1 |
||
R2 |
10,5см |
|
0,105м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
30см |
|
0,3м |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
n 15с 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
8,5 10 6 Па с |
|
|
|
|
|
||
8,5мкПа с |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
F ? |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
M ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.3 |
1.Касательная сила F , действующую на поверхность цилиндра площадью S 1м2 :
F F . |
(1) |
S
Закон Ньютона: сила внутреннего трения между движущимися слоями газа
– производная импульса:
F dp . |
(2) |
dt |
|
Элементарный импульс, переносимый молекулами из одного слоя в другой через элемент поверхности:
dp ddz Sdt . Тогда выражение (2):
F ddz S .
Градиент (изменение) скорости течения слоёв:
18
d |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 n R2 |
, |
|||||
dz |
z |
R |
2 |
R |
R |
2 |
R |
R |
2 |
R |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
z - расстояние между двумя цилиндрами, считаем, что скорость у неподвижного цилиндра равна нулю. Линейную скорость внешнего цилиндра (молекул газа на поверхности вращающегося цилиндра) выразили через
угловую скорость, а её через частоту n :
R2 2 n R2 .
Площадь поверхности неподвижного (внутреннего) ц илиндра:
S S .
Подставляя все значения в формулу (1), получим кас ательную силу:
F d |
S |
1 |
d |
2 n R2 |
. |
|
||
|
|
|
||||||
|
dz |
|
S |
dz |
R2 R1 |
|
||
|
|
|
||||||
Подставим численные значения: |
|
|
|
|||||
F 8,5 10 6 |
2 3,14 15 0,105 16823 10 6 |
16,8 10 3 (H ) . |
||||||
|
|
|
|
0,105 0,1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
2. Вращающий момент определяется по формуле:
М F R1 .
Сила, действующая на внутренний цилиндр:
F F S .
Площадь поверхности неподвижного (внутреннего) цилиндра:
S S 2 R1 . Следовательно:
M |
2 nR2 |
2 R1 R1 |
2 nR2 |
2 R12 |
4 2 n2 R2 R12 |
. |
|
|
R2 R1 |
|
|||||
|
R2 R1 |
|
|
R2 R1 |
|||
Подставим численные значения: |
|
|
|
|
|||
M 16,823 10 3 2 3,14 0,12 |
0,3 |
0,317 10 3 |
3,17 10 4 (H м) . |
||||
Ответ: F 16,8мH ; M 3,17 10 4 H м .
Домашнее задание № 4
Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии 1мм друг от друга находится воздух (рис.4). Между пластинами поддерживается разность те м-
19
ператур 1К . Площадь каждой пластины равна 100см2 . Какое количество теплоты передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за 10мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Д иаметр молекулы воздуха принять равным 0,3нм .
Дано: |
|
СИ: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 1мм |
|
10 3 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 S2 100см2 |
|
10 2 м |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
t 10мин |
|
600с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 0,3нм |
|
3 10 10 м |
|
|
|
|
|
|
|
рис.4 |
|
||
T 273К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Закон Фурье: |
|
|
|
|
|||||
29 10 3 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dТ |
|
|
|
||
моль |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
S t , |
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i 5 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
где Q – количество теплоты, про- |
|||||||
Q ? |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
шедшее посредством теплопроводности че- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
рез сечение площадью S за время t . |
|
|
|
|
|||||||||
Коэффициент теплопроводности (теплопроводность) по определению: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 cV |
|
. |
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Удельная теплоёмкость:
cV 2i MR .
Плотность газа, с учётом уравнения Менделеева - Клапейрона:
Vm RTP .
Средняя скорость:
8RT .
Средняя длина свободного пробега молекул находится по формуле:
20