Питання до заліку
Основні комбінаторні формули.
Види подій і операції над ними.
Статистичне і класичне означення ймовірності.
Означення суми подій. Теореми додавання ймовірностей несумісних і сумісних подій.
Означення добутку подій. Які події називаються незалежними.
Означення умовної ймовірності. Теореми множення ймовірностей залежних і незалежних подій.
Формула повної ймовірності.
Формула Байєса.
Формула Бернуллі.
Сформулюйте локальну теорему Муавра-Лапласа і теорему Пуассона. Коли застосовуються ці теореми?
Сформулюйте інтегральну теорему Муавра-Лапласа. У чому полягає розходження між локальною й інтегральною теоремами Муавра-Лапласа?
Означення випадкової величини. Наведіть приклади.
Означення функції розподілу випадкової величини, її властивості.
Означення щільності розподілу ймовірностей, її властивості.
Як знайти функцію розподілу за відомою щільністю розподілу ймовірностей?
Як знайти ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал?
Означення моди, медіани випадкової величини.
Означення асиметрії, ексцесу.
Означення початкового і центрального моментів k-го порядку.
Біноміальний, рівномірний гіпергеометричний, геометричний розподіли.
Напишіть диференціальну функцію нормального розподілу. Якими параметрами визначається нормальний розподіл?
Чи впливає зміна математичного сподівання на форму нормальної кривої? Як впливає зміна середнього квадратичного відхилення на форму нормальної кривої?
Як знайти ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона розподілена за нормальним законом?
Контрольні завдання
1. Класичне означення ймовірності.
Література : [2] стор. 8-18
[4] стор. 10-28
У задачах 1-5 знайти ймовірності подій, користуючись формулами комбінаторики.
Кидають два гральних кубики. Обчислити ймовірність того, що а) сума очок не перевищить n; б) добуток очок не перевищить n; в) добуток очок поділиться на n. (табл.1.1)
|
№B |
n |
|
1 |
3 |
|
2 |
4 |
|
3 |
5 |
|
4 |
6 |
|
5 |
7 |
|
6 |
8 |
|
7 |
9 |
|
8 |
10 |
|
9 |
11 |
|
10 |
12 |
|
11 |
5 |
|
12 |
6 |
|
13 |
7 |
|
14 |
8 |
|
15 |
9 |
|
16 |
10 |
|
17 |
11 |
|
18 |
12 |
|
19 |
13 |
|
20 |
14 |
|
21 |
15 |
|
22 |
16 |
|
23 |
17 |
|
24 |
18 |
|
25 |
19 |
табл. 1.1
Ліфт із n пасажирами зупиняється на k поверхах. Чому дорівнює ймовірність того, що а) усі пасажири вийдуть на одному поверсі; б) усі вийдуть на різних поверхах; в) принаймні двоє вийдуть на одному поверсі. (табл.1.2)
|
№В |
к |
n |
|
1 |
6 |
4 |
|
2 |
7 |
4 |
|
3 |
8 |
5 |
|
4 |
9 |
5 |
|
5 |
10 |
6 |
|
6 |
11 |
4 |
|
7 |
12 |
4 |
|
8 |
13 |
3 |
|
9 |
14 |
3 |
|
10 |
13 |
4 |
|
11 |
12 |
3 |
|
12 |
11 |
3 |
|
13 |
10 |
4 |
|
14 |
9 |
4 |
|
15 |
8 |
3 |
|
16 |
7 |
3 |
|
17 |
6 |
4 |
|
18 |
7 |
4 |
|
19 |
8 |
5 |
|
20 |
9 |
5 |
|
21 |
10 |
6 |
|
22 |
11 |
4 |
|
23 |
12 |
4 |
|
24 |
13 |
3 |
|
25 |
14 |
3 |
табл. 1.2
Слово складене з карток на яких написана одна буква. Картки змішують і виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що картки з буквами виймаються в порядку знаходження букв заданого слова: (табл. 1.3)
|
№В |
| |
|
1 |
подія |
математика |
|
2 |
теорія |
статистика |
|
3 |
номер |
розподіл |
|
4 |
книга |
парабола |
|
5 |
кіно |
діаграма |
|
6 |
гіпербола |
група |
|
7 |
схема |
кукурудза |
|
8 |
матч |
задача |
|
9 |
гра |
щільність |
|
10 |
воля |
спортсмен |
|
11 |
пам'ять |
програма |
|
12 |
магніт |
програміст |
|
13 |
інтеграл |
статистика |
|
14 |
умова |
інформатика |
|
15 |
алгоритм |
сердечник |
|
16 |
блок |
програмування |
|
17 |
схема |
випадковість |
|
18 |
операція |
імовірність |
|
19 |
буква |
підпрограма |
|
20 |
білий |
процедура |
|
21 |
куля |
присвоювання |
|
22 |
п'ять |
процесор |
|
23 |
час |
пристрій |
|
24 |
один |
обчислити |
|
25 |
чорний |
калькулятор |
табл. 1.3
Група менеджерів, що складається з
чоловік займає місця в одному ряду
конференц-залу у випадковому порядку.
Яка ймовірність того, що:
1)
визначених менеджерів виявляться поруч;
2)
визначених менеджерів не виявляться
поруч. (табл. 1.4)
|
№В |
N |
M |
|
1 |
4 |
2 |
|
2 |
5 |
2 |
|
3 |
6 |
2 |
|
4 |
7 |
2 |
|
5 |
8 |
2 |
|
6 |
9 |
3 |
|
7 |
10 |
3 |
|
8 |
11 |
3 |
|
9 |
12 |
3 |
|
10 |
13 |
3 |
|
11 |
14 |
3 |
|
12 |
4 |
3 |
|
13 |
5 |
3 |
|
14 |
6 |
3 |
|
15 |
7 |
3 |
|
16 |
8 |
3 |
|
17 |
9 |
2 |
|
18 |
10 |
2 |
|
19 |
11 |
2 |
|
20 |
12 |
2 |
|
21 |
13 |
2 |
|
22 |
14 |
2 |
|
23 |
15 |
2 |
|
24 |
16 |
2 |
|
25 |
17 |
2 |
табл. 1.4
З N ощадбанків M розташовані за межею міста. Для обстеження випадковим чином відібрано n ощадбанків. Яка ймовірність того, що серед відібраних виявляться за межею міста : а) m ощадбанків; б) жодного ощадбанку; в) хоча б один.
|
№В |
N |
M |
n |
|
|
1 |
20 |
15 |
3 |
2 |
|
2 |
19 |
14 |
4 |
3 |
|
3 |
18 |
13 |
5 |
4 |
|
4 |
17 |
12 |
6 |
5 |
|
5 |
16 |
11 |
3 |
2 |
|
6 |
15 |
10 |
4 |
3 |
|
7 |
14 |
9 |
5 |
4 |
|
8 |
13 |
8 |
6 |
5 |
|
9 |
12 |
7 |
3 |
2 |
|
10 |
11 |
6 |
4 |
2 |
|
11 |
15 |
11 |
5 |
2 |
|
12 |
14 |
10 |
6 |
2 |
|
13 |
13 |
9 |
7 |
2 |
|
14 |
12 |
8 |
8 |
2 |
|
15 |
10 |
7 |
4 |
2 |
|
16 |
10 |
7 |
5 |
2 |
|
17 |
11 |
8 |
5 |
2 |
|
18 |
12 |
9 |
5 |
3 |
|
19 |
13 |
10 |
5 |
3 |
|
20 |
14 |
11 |
5 |
3 |
|
21 |
15 |
10 |
5 |
3 |
|
22 |
16 |
9 |
5 |
3 |
|
23 |
17 |
10 |
4 |
3 |
|
24 |
18 |
9 |
4 |
3 |
|
25 |
19 |
10 |
4 |
3 |
табл. 1.5