Это как раз и означает, что
последовательность xn(t) сходится к
функции x0(t) равномерно.
Докажем, что x0(t) непрерывна.
Пусть t0 [0,1].
Для ε>0 выберем номер n1 так, чтобы выполнялось
max xn1 (t) x0 (t) / 3
0 t 1
Затем выберем δ>0 так, что из
t t0 |
следует |
max xn1 (t0 ) xn1 (t) / 3
0 t 1
Тогда для любого t из δ-окрестности t0
имеем:
x0 (t) x0 (t0 ) x0 (t) xn1 (t) xn1 (t) xn1 (t0 )
xn1 (t0 ) x0 (t0 )
■
Рассмотрим пространство CL[0,1],
которое состоит из непрерывных
на отрезке [0,1] функций, однако норма на нем задана с помощью интеграла Лебега: x(t)
[0,1]
Утверждение 1. Пространство
CL[0,1] – неполно.
Рассмотрим последовательность
функций xn(t):
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
0, 0 |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xn |
(t) 1, |
|
|
|
|
|
|
t |
1, |
|
|
|
||||
2 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
n(t |
|
|
|
), |
|
|
|
t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
n |
||
Данная последовательность
является последовательностью
Коши.
Действительно, если n>m, то
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn xm |
|
|
|
|
|
xn (t) xm (t) |
|
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
при n |
|||
|
|
|
xn (t) xm (t) dt 1 |
|||||||||||||||
|
1/ 2 1 |
/ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Последовательность xn(t) |
сходится в |
||||||||||||||||
среднем (по норме пространства
CL[0,1]) к разрывной функции x0(t):
|
|
0 t |
1 |
|
|
|
0, |
|
, |
||
x0 |
2 |
||||
(t) |
1 |
|
|
|
|
|
1, |
t 1 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Может ли последовательность xn(t) |
||||||||||||
|
сходится по норме пространства |
||||||||||||
|
CL[0,1] также к другой функции y0(t), |
||||||||||||
|
которая является непрерывной? |
||||||||||||
|
Если это так, то получаем |
||||||||||||
|
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x0 (t) y0 (t) |
|
dt |
|
x0 (t) xn (t) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn (t) y0 (t) |
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к пределу по n имеем:
1
x0 (t) y0 (t) dt 0
0
Тогда функция y0(t) почти всюду равна разрывной функции x0(t), и значит сама является разрывной
(почему?).
Теорема 2. (Принцип вложенных
шаров.) В банаховом пространстве любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся
к нулю, имеет общую точку.
Пусть rn 0
B xn , rn B xn 1 , rn 1 ...
Докажем, что центры шаров xn
образуют последовательность Коши.
При m n xm B[xn , rn ],
значит 
xn xm 
rn 0.
Так как пространство полное, то
последовательность xn сходится к
некоторой точке x*.
Если n>m, то
x* xn 
x* xm 
xm xn 
x* xm 
rn
Переходя к пределу по m имеем:
x* xn 
rn
n x* B[xn , rn ] ■
В нормированном векторном
пространстве X можно рассматривать |
|
|
|
ряды xk , |
xk X |
k 1
Определение. Ряд в НВП называется сходящимся, если сходится последовательность его
|
n |
частных сумм Sn. |
Sn xk |
|
k 1 |
Суммой ряда называется предел S
его частных сумм Sn.
S limSn
n
Определение. Ряд в НВП
называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд,
составленный из норм слагаемых,
то есть ряд
xk
k 1
Теорема 3. Нормированное векторное пространство является банаховым тогда и только тогда,
когда в нем каждый абсолютно
сходящийся ряд сходится.
Необходимость. Доказать, что
последовательность частных сумм
фундаментальна.
Достаточность. Возьмем
произвольную последовательность
Коши xn . Выберем подпоследовательность xnk так, чтобы
|
|
x |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n k 1 |
n k |
|
|
2k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда для ряда |
xn 1 (xn k 1 |
xn k ) |
|||||||
k 1
ряд, составленный из норм, сходится, а, значит, сходится и
исходный ряд. ■
Теорема 4. Для любого
нормированного векторного
пространства X0 существует банахово
пространство X, которое является
пополнением X0, причем X0 является векторным подпространством в X.