Лемма 3 (неравенство Минковского).
Пусть 1<=p<+∞.Тогда для любых
функций x(t), y(t), для которых существует интеграл модуля функции в степени p, справедливо неравенство:
x(t) y(t)
p 
x(t)
p 
y(t)
p ,
где |
|
x |
|
|
|
|
|
x(t) |
|
p |
1/ p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ a ,b] |
|
|
|
||
При фиксированном t справедлива
цепочка неравенств:
|
x(t) y(t) |
|
p 2 max |
x(t) |
|
, |
|
y(t) |
|
p |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p max x(t) |
|
p , |
|
y(t) |
|
p 2 p |
|
x(t) |
|
p |
|
y(t) |
|
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Поэтому интегрируема функция |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x(t) y(t) p
Поскольку |
|
x(t) y(t) |
|
p 1 q |
|
|
x(t) y(t) |
|
p |
|||
|
|
|
||||||||||
то функция |
|
|
x(t) y(t) |
|
p1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принадлежит пространству Lq[a,b] |
||||||||||||
|
|
x(t) y(t) |
|
p d |
|
x(t) y(t) |
|
|
|
x(t) y(t) |
|
p 1 d |
|
|
|
|
|
|
[ a,b] [ a,b]
|
|
x(t) |
|
|
|
x(t) y(t) |
|
p 1 d |
|
y(t) |
|
|
|
x(t) y(t) |
|
p 1 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
[ a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
[ a,b] |
||||||||
Используем неравенство Гельдера:
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1/ q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x(t) y(t) |
|
d |
|
|
|
x |
|
p |
|
|
x(t) y(t) |
|
|
|
d |
|
|||||
[ a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a,b] |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1/ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
p |
x(t) y(t) |
|
|
|
d |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ a,b] |
|
|
|
|
|
||||
Разделим неравенство на интеграл,
стоящий в правой части:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x(t) y(t) |
|
d |
|
|
x |
|
p |
|
y |
|
p |
||
|
[ a ,b ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что и требовалось доказать.
Из неравенства Минковского получаем неравенство треугольника для нормы пространства Lp[a,b]. Значит, Lp[a,b] является
нормированным пространством (
Замечание. Неравенства Гельдера и Минковского справедливы также для
бесконечных числовых
последовательностей.
Таким образом, получаем
нормированные пространства l p , p 1
9. Геометрия и топология в нормированных пространствах.
Определение ограниченного
множества в нормированном
векторном пространстве.
Определение и примеры сходимости
(по норме) в нормированном векторном пространстве.
Определение предела в НВП.
Утверждение 1. Единственность
предела.
Утверждение 2. Сходящаяся
последовательность ограничена.
Определение последовательности
Коши (фундаментальной последовательности) в НВП. Примеры.
Утверждение. Фундаментальная последовательность в НВП ограничена.
Определение открытого и замкнутого
(через дополнение) множества в
нормированном векторном
пространстве.
Утверждение. Открытый шар в НВП
является открытым множеством.
Определение внешней точки, точки
прикосновения, предельной точки для
множества в нормированном
векторном пространстве.
Определение замыкания множества в нормированном векторном пространстве (множество точек прикосновения).
Утверждение 1. Пусть A –
подмножество в нормированном векторном пространстве X. Тогда следующие свойства эквивалентны:
1. X \ A открытое
2. A A
3. A A
4. (xn x0 ) & (xn A) (x0 A)
1 2 2 3 3 4 4 3
Упражнение 1. Установить,
являются ли эквивалентными понятия точки прикосновения и предельной точки в НВП. Доказать
или привести контрпример.
Определение всюду плотного
множества в нормированном векторном пространстве. Определение сепарабельного нормированного векторного
пространства.
Упражнение 2. Привести пример
открытого множества в
подпространстве НВП, которое не
является открытым в самом
пространстве.
Упражнение 3. Будет ли открытым
в НВП ℓ1 следующее множество:
{x (x1 , x2 ,..., xn ,...) l1 : k |
|
xk |
|
1} |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Упражнение 4. Привести пример
последовательности векторов, которая принадлежит каждому из пространств ℓ1 и m, и при этом сходится в m, но не сходится в ℓ1 .
10. Полные нормированные
пространства.
Определение банахова
пространства – полного нормированного векторного пространства.
Теорема 1. Пространство C[0,1] – банахово.
Пусть xn(t) – последовательность Коши в C[0,1]. Это значит, что для любого ε>0 существует номер n(ε):
max xn (t) xm (t) (1)
0 t 1
Зафиксируем точку t. Тогда для n>n(ε), m>n(ε) выполняется
xn (t) xm (t)
Это значит, что числовая
последовательность xn(t) является
последовательностью Коши и в силу полноты R сходится.
Пусть limxn (t) x0 (t).
n
Получили функцию x0(t). Осталось
доказать, что x0(t) является непрерывной функцией и последовательность xn(t) сходится к ней по норме пространства C[0,1], то есть равномерно.
В неравенстве (1) перейдем к
пределу при m
В результате получим, что для n>n(ε) выполняется неравенство
max xn (t) x0 (t)
0 t 1