Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

803.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Доказательство. Пусть x0 - начальное условие для w -периодического решения. Тогда в силу (29.4) имеем

w
x0 = eAwx0 + Z0	eA(w s)q(s)ds	(29.6)

Матрица этой системы eAw E . Условие невырожденности этой матрицы равносильно отсутствию у матрицы A собственных значений равных 2 ik=w . Так как если

A = [ 1; : : : ; n] , то eAw = [e 1w; : : : ; e nw] . Отсюда e iw = 1 , i = 2 ik=w; k 2

Z .

30 Понятие краевой задачи для линейных систем

Пусть дана однородная краевая задача
	x = P (t)x			(30.1)
	Ax( ) + Bx( ) = 0			(30.2)
Здесь P (t) : (a; b) ! Mn;n; A; B 2 Mn;n;		( ; ) 2 (a; b) .
~	x = фундаментальная матрица, т.е.			~
Пусть (t) нормированная в	x = фундаментальная матрица, т.е.			( ) = E .
Тогда все решения уравнения x = P (t)x задаются формулой
	~	n	:
	x = (t)C; C 2 C		:
В силу (30.2) имеем
~	~	~
A ( )C + B ( )C = (A B ( ))C = 0:

Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда


:= det		~	= 0:	(30.3)
:= det		A B ( )	= 0:	(30.3)
Определим функцию Грина	G(t; s)	: Q !	Mn;n , где Q =	f(t; s) :
t ; s ; t6=sg .
Определение 30.1. Функция G(t; s)		называется функцией Грина краевой задаачи
(30.1), (30.2), если она удовлетворяет следующим условиям:
1. Для t 2 [ ; s) и t 2 (s; ] dGdt	= P (t)G

2.AG( ; s) + BG( ; s) = 0 при всех s 2 ( ; )

3.G(s + 0; s) G(s 0; s) = E

Из условия 1. G(t; s) =

(t)S(s) при t < s(t)T (s) при s < t

Из 2. и 3. находим S(s) и T (s) :

S(s) = [A + B ( )] 1B ( ) 1(s);

T (s) = fE [A + B ( )] 1B ( )g 1(s):

Следовательно, G(t; s) определяется однозначно. Рассмотрим сейчас неоднородную краевую задачу

x = P (t)x + q(t)

Ax( ) + Bx( ) = 0

(30.4)

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Теорема 30.1. Если 6= 0 , то неоднородная краевая задача (30.4) имеет единственное решение


x(t) = Z	G(t; s)q(s)ds	(30.5)

Доказательство. См.[Бибиков].

31Поведение траекторий линейной автономной системы на плоскости.

Рассмотрим линейную систему

a11	a12
x = Ax; A = a21	a22		(31.1)

Здесь A – постоянная вещественная матрица. Здесь x = 0 – очевидно, решение. Также x = 0 – положение равновесия в фазовом пространстве, т.к. вектор скорости в x = 0 равен нулю. Нас интересует поведение траекторий в окрестности положения равновесия. Напомним, что пространство (x1; : : : ; xn) называется фазовым пространством, а (t; x1; : : : ; xn) пространством движений. Проекция интегральной кривой x = x(t) в фазовое пространство представляет собой траекторию.

	t		x1
	6		6
	-	-	-x2
x1	x2

Расположение траекторий в фазовом пространстве называют фазовым портретом. Для матрицы A возможны следующие случаи:

1.собственные значения 1; 2 вещественны и различны;

2.1; 2 - комплексно - сопряженные;

3.- единственное собственное значение.

Рассмотрим невырожденные случаи, т.е. когда 1 6= 2 и i 6= 0 .

А. Пусть 1; 2 - вещественны и различны. Пусть v1 и v2 соответствующие собственные вектора. Тогда

x = C1e 1tv1 + C2e 2tv2:

Пусть y1 и y2 координаты вектора x в базисе векторов v1 и v2 . Тогда

y1 = C1e 1t; y2 = C2e 2t:

Достаточно рассмотреть случай C1 0; C2 0 . А1. 0 < 1 < 2 Тогда y1 ! 0; y2 ! 0; t ! +1 .

dy2 = C1 2e 2t = C2 2 e( 1 1)t ! 0: dy1 C1 1e 1t C1 1

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Так что траектории входят в начало координат по двум направлениям, касаясь оси Oy1 , т.е. имеем фазовый портрет :

	x2		y2
		6
			v2

					*
					*
			*v1		y1
				y
z				i	-
z					x1
:					x1







	Рис.31.1

Расположение траекторий (и такое положение равновесия x = 0 ) называют устойчивым узлом.

A2. Пусть 0 < 1 < 2: Тогда топологическое расположение траекторий остается прежним, меняется лишь направление движения.

	x2	y2
	6
		v2

				*
				*
			* y1
				v1
		z
			q	-
y				-
y				x1
9				x1






	Рис.31.2

Такое расположение траекторий называют неустойчивым узлом. A3. Пусть 1 < 0 < 2:

y1 = C1e 1t ! 0; t ! +1 (C1 0) y2 = C2e 2t ! +1; t ! +1 (C2 0)

x26y2

		*
		* y1
		v1

Рис.31.3

Глава 2.

Линейные системы дифференциальных уравнений

Такое расположение траекторий называют седлом.

В. Пусть

= + v;

v =

(v1

v2);

v =

(v1 + v2) любое

= v . Тогда

комплексное решение имеет вид

z = C1etv + C2etv; 8C1; C2 2 C:

Тогда вещественное решение имеет вид

x = Re[z] =

(z + z) =

(C1e

v + C2e

v) =

(C1 + C2)e v +

(C1

+ C2)e v:

Пусть C := 2 (C1

+ C2) . Тогда

x = Ce v + Ce

Пусть C = Re . Тогда

x = Re etv + Re etv =

=Re( + (v+ ))t 12(v1 v2) + Re( (v+ ))t 12(v1 + v2) =

=12Ret e ( +vt) + e ( +vt) v2

2Ret e ( +vt) e ( +vt) v2 =

=Ret cos( + vt)v1 + Ret sin( + vt)v2:

Пусть y1 и y2 координаты вектора x в базисе векторов v1 и v2 . Тогда

y1 = Ret cos( + vt);

y2 = Ret sin( + vt):

В1. Пусть < 0 . Тогда

y12 + y22 = R2e2t ! +1:

При этом y1 ! 0; y2 ! 0; t ! +1 . Траектории представляют собой спирали.

6	6
-	-

Рис.31.4 ( v >0)

Рис.31.5 ( v <0)

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Такое расположение траекторий называют устойчивым фокусом.

В2. > 0 . Расположение траекторий такое же, как и на рисунках 31.4 и 31.5. Но направление движений меняется на противоположное. Расположение траекторий в этом случае называется неустойчивым фокусом.

В3. Пусть = 0 . Тогда имеем

y12 + y22 = R2:

Рис.31.6 ( v >0)

Рис.31.7 ( v <0)

Такое расположение траекторий называют центром.

Рассмотрим вырожденные случаи.

С. 1 6= 0; 2 = 0

x = C1e 1tv1 + C2v2

Тогда y1 = C1e 1t; y2 = C2 .

Рис.31.8 ( 1 < 0 )

Рис.31.9 ( 1 > 0 )

Д. Пусть 1 = 2 = 6= 0 . Могут быть два случая: A = 0

и A =

Д1. Пусть A =		0	Тогда
	0
			y1 = C1e t; y2 = C2e t и
			y1 ! 0; y2 ! 0; если и < 0
			y1	=	C1
			y2	=	C2
			y2		C2

Глава 2.	Линейные системы дифференциальных уравнений						56
			x2
			6
		A
			A
		HH	U
		HH	A
		jH A
			HHA		-
			H		x1
		A HH			x1
		*	A	YHH
				A
				K
				A
				A
		Рис.31.10 (дикритический узел)
		0
Д2. Пусть A = 1			= y1 + y2
		y2	= y1 + y2
		y1	= y1;
			x2	y2
			6


					*
					*
					y1

					-
					-
					x	1
		*				1
		*






		Рис.31.11 (устойчивый вырожденный узел)

Е.Пусть 1 = 2 = 0 . Тогда возможны два случая.

Е1. Пусть A = 01 00 . Тогда

y2	= y1		y2		= C1t + C2
y1	= 0		y1		= C1
			x2	6 sy2		*
					s
						y1
					s
		s				-x1

			s
			s

Рис. 31.12

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Е2. Если A =	0	0	, то все точки плоскости xOy - точки равновесия.
	0	0

Рассмотрим динамическую систему

x = f(x); f : Rn ! Rn:

Пусть a - положение равновесия , т.е. f(a) = 0 . Предположим, что a = 0 и в окрестности a = 0

f(x) = Ax + F (x);

где A - постоянная матрица и

jF (x)j Mjxj1+ ; M; > 0:

Если собственные значения матрицы A различны и Re[ i] 6= 0 , то положение равновесия x = 0 имеет тот же характер, что и положение равновесия x = 0 для линейной системы x = Ax .

32 Введение в теорию устойчивости.

32.1Определения и примеры.

Ранее мы показали, что решение задачи Коши

x = f(t; x); t		a; b ; x		D	R	n
x(t0) = x0	2 (	)	2		R	(32.1)

в случае выполнения условий теоремы Пикара при t 2 (a; b) непрерывно зависит от начальных данных.

Исследуем зависимость решения от начальных данных на бесконечном промежутке t2[t0; +1) . При этом будем считать, что условие теоремы Пикаро выполнено для всех

	(t; x) 2 [t0; +1) D;
где D - открытое множество в пространстве переменного x .
Пусть x = '(t) : (t0; +1) ! Rn - решение (32.1), определенное при t t0 .
Определение 32.1. Решение x = '(t)			уравнения (32.1) называется устойчивым
по Ляпунову, если для 8" > 0; 9 > 0 , что для любого вектора x1 2 Rn
	jj'(t0) x1jj < :						(32.2)
Следует, что решение x =	(t) , удовлетворяющее начальному условию						(t0) = x0 ,
определено при всех t t0	и имеет место неравенство
	jj (t) '(t)jj < ";				t t0:		(32.3)
Если, кроме того	t!+1 jj				jj		(32.4)
		(t)		'(t)		= 0;
	lim

то решение x = '(t) называется асимптотически устойчивым.

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Дадим геометрическую интерпретацию определения в случае n = 1 , т.е. скалярного уравнения.

x = '(t)

x = (t)

x0+

]J2"

Рис. 32.1

Пример 32.1. Рассмотрим уравнение

x = kx (k const):

Все решения определяются формулой

x = x0ek(t t0):

Фиксируем решение x = '(t) с начальным условием x(t0) = x0 . Определим его устойчивость.

1. При k 0 решение x = '(t) = x0ek(t t0) устойчиво, так как при всех t t0 jjx1ek(t t0) x0ek(t t0)jj = ek(t t0)jjx1 x0jj jjx1 x0jj < "

как только jjx1 x0jj < = " .

2. Если k < 0 , то lim ek(t t0)jjx1 x0jj = 0 и, следовательно, решение x = '(t)

t!+1

асимптотически устойчиво. Если k = 0 , то решение только устойчиво, но не асимптотически.

3. k > 0: В этом случае

lim ek(t t0)	jj	x	1	x	0jj	= +
t +	jj		1		0jj	1
! 1
и, следовательно, решение x = '(t) неустойчиво.
Пример 32.2. Рассмотрим линейную систему с постоянной 2 2							матрицей:
x = Ax . В случаях устойчивого узла, устойчивого фокуса, решение							x = 0 бу-

дет, очевидно, устойчивым. В случае центра x = 0 устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. В случае седла x = 0 неустойчиво.

Замечание 32.1. Исследование устойчивости решения x = '(t) может быть сведено к исследованию устойчивости нулевого решения, т.е. положения равновесия другой нормальной системы путем замены x '(t) = y(t) . Тогда для y(t) имеем уравнение

y = f1(t; y);

где f1(t; 0) = 0 .

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

33Устойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами (достаточные условия)

Пусть дана система

x = Ax; A 2 Mn;n

(33.1)

Пусть k = k + k; k = 1; : : : ; m; m n .

Лемма 33.1. Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то 9 > 0; R > 0; что для любого решения

j'(t)j < Re t:

(33.2)

Доказательство. По методу Эйлера

'(t) = gk(t)e kt;

k=1

где gk(t) вектор-функции, компоненты которых полиномы. Так как по условию k < 0 , то 9 > 0 , что

k + < 0:

Следовательно, j'(t)e (t)j

Следовательно, функция

m			m
g t e( k+ )t		lim		g t	e k+ = 0
m kP	, но	! 1 P		j k( )j		.
j k( )j	, но	t +	k=0	j k( )j		.
=1			k=0

P jgk(t)je k+ ограничена

k=0

jgk(t)je k+ R:

k=0

Но тогда j'(t)j Re t , что и требовалось доказать.

Лемма 33.2. Если вещественные части всех собственных значений матрицы A отрицательны ( k < 0) , то для решения x = '(t) с начальным условием '(t0) = x0 существуют такие r > 0; > 0 , что

j'(t)j rjx0je t; t 0:

Доказательство. Пусть 'j(t) - решения, удовлетворяющие начальному условию 'j(0)=lj , где lj = colon(0; : : : ; 1 ; : : : ; 0) . Тогда по теореме единственности

|{z}

'j(t) = 'j(t)xj0;

j=1

где x0 = (x10; : : : ; xn0 ) . По предыдущей лемме существуют такие Rj > 0 и > 0 , что j'j(t)j Rje t . Положим R := max(R1; : : : ; Rn) . Тогда

Но тогда	j'j(t)j Re t; t 0:
Но тогда
n	n
Xj	X
j'j(t)j	j'j(t)jjx0j j Re t jx0j j = nRe tjx0j:
=1	j=1

Обозначая r = nR , получаем требуемое утверждение.

Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений

Теорема 33.1. Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия x = 0 асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть 8" > 0 , а x = (t) решение с начальным условием										(0) =
x0 . По лемме (33.2) 9r > 0 и > 0 , что
						j (t)j rjx0je t:
			"			"
Положим =					. Тогда	j (t)j < r		e t " коль скоро	jx0j < . При	этом
Положим =				r	. Тогда	j (t)j < r	r	e t " коль скоро	jx0j < . При	этом
lim	(t)	=0	.
t!+1 j	j		.

Теорема 33.2. Если хотя бы одно собственное значение матрицы A имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия x = 0 неустойчиво.

Доказательство. Пусть, например, Re[ ] = > 0 и v1 - собственный вектор, соответствующий . Тогда

z = ve t

решение, а

x= Re[z] = Re[ve t] = Re[(v1 + v2)e t(cos( t) + sin( t))] =

=e t(v1 cos( t) v2 sin( t))

–вещественное решение.

При t ! +1 ; jxj ! +1 этим же свойством обладает и множество решений x = CRe ve t :

При достаточно малом C это решение в момент t = 0 сколь угодно близко к положению равновесия x = 0 . Следовательно, положение равновесия x = 0 неустойчиво.

34 Введение во второй метод Ляпунова

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
x = f(t; x);	(34.1)
где f : G ! Rn; G(t; x) = [t0; +1) ;

= fx : jxj < r; r > 0g

Предположим также, что f удовлетворяет теореме Пикаро - Линделефа на G(t; x)

и f(t; 0) = 0 .

Теорема 34.1. (Ляпунова об устойчивости) Предположим, что на определена

неотрицательная функция V (x) 0		класса C1 , обращающаяся в нуль только при
x = 0 такая, что		n
	V		V
		Xi		(34.2)
	dt =		dxi fi 0
		=1

на G . Тогда решение x = устойчиво по Ляпунову.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.11.2019552.96 Кб4lektsia_7_rabota_s_bolshimi_dokumentami.doc
#
13.09.201933.71 Кб2lektsia_8.docx
#
16.07.201949.45 Кб4Lektsii.docx
#
25.11.2018249.34 Кб3Lektsii_1-3.doc
#
13.09.2019250.37 Кб13lektsii_bukhgalteria.doc
#
01.03.2016803.88 Кб12Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2.pdf
#
03.09.2019105.98 Кб15Lektsii_IGiPZS.docx
#
23.11.2019483.84 Кб79Lektsii_IGPB.doc
#
29.02.2016383.97 Кб159Lektsii_Laguna.docx
#
01.03.201623.1 Mб12Lektsii_Levakova_po_matanalizu.pdf
#
29.02.20161.41 Mб6Lektsii_Mekhanika_Ch_1.pdf