Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2

Оглавление

3Формула Лиувилля-Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1Построение однородного линейного уравнения, имеющего за-

данную ФСР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4Линейное однородное дифференциальное уравнение с вещественными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами . . . 11

6Линейные неоднородные уравнения. Общие свойства . . . . . . . . . . . 12

6.1Структура общего решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.2Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8Метод Коши определения частного решения линейного неоднородного

уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9Линейные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной

12Общие свойства линейных уравнений второго порядка . . . . . . . . . . 23

13Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов . . 24

14Интегрирование при помощи обобщенных степенных рядов . . . . . . . 25

15Уравнение Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

16Колебательный характер решений уравнений второго порядка. (Введение в теорию Штурма.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

17Линейные разностные (дискретные) уравнения. . . . . . . . . . . . . . . 32

22Матричные ряды. Экспонента матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

23Линейные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . 43

24Структура фундаментальной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

25Матричный метод интегрирования линейных систем . . . . . . . . . . . 45

26Метод Эйлера решения линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

27 Линейные системы с периодическими коэффициентами . . . . . . . . . 46

28Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений . . . . 48

29Линейные неоднородные периодические системы . . . . . . . . . . . . . 49

30Понятие краевой задачи для линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . 50

31Поведение траекторий линейной автономной системы на плоскости. . . 51

32Введение в теорию устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 32.1 Определения и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

33Устойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными ко-

Рис. 1.1

Далее будем предполагать, что коэффициенты pj(t); q(t) : (a; b) ! C , т.е. pj(t); q(t) непрерывны на (a; b) и комплекснозначные. Решение уравнения (1.1) также может быть комплекснозначным. При этом мы отождествляем непрерывность и дифференцируемость комплекснозначной функции x(t) = u(t) + i v(t) : (a; b) ! C с аналогичными свойствами пары функций u(t); v(t) : (a; b) ! R: В этом случае комплексная дифференциальная система (1.3) может быть записана в виде линейной вещественной системы 2n уравнений, для которой также справедлива теорема ПикараЛинделёфа. Таким образом, справедлива

Теорема 1.2. Задача Коши (1.4), где непрерывные комплекснозначные функции pj(t); q(t) : (a; b) ! C; с любой начальной точкой (t0; x01; : : : ; x0n) 2 (a; b) Cn однозначно разрешима, и решение x = '(t) : (a; b) ! C продолжимо на (a; b) (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2

Упражнение 1.1. Выписать вещественную (2n 2n) матрицу линейной системы (1.3) в случае pj(t) = rj(t) + i sj(t); q(t) = g(t) + i h(t); x(t) = u(t) + i v(t) с

вещественными функциями rj; sj; g; h; u; v:

Для компактности записи обозначим левую часть уравнения (1.1) через L[x]:

x(t):(a; b) ! C класса Cn: Линейность оператора L очевидно следует из следующих свойств.

Если в уравнении (1.1) q(t) 0 на (a; b); то уравнение (1.1) называется однородным, в противном случае оно неоднородное.

2Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с комплексными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

где pj(t) : (a; b) ! C; j = 1; 2; : : : ; n непрерывные функции. Заметим, что уравнение (2.1) имеет тривиальное решение x = 0:

Теорема 2.1. Задача Коши

L := x(n) + p1(t)x(n 1) + : : : + pn(t)x = 0;

x(t0) = x0;

(2.2)

: : :

x(n 1)(t0) = 0;

где непрерывные функции pj(t) : (a; b) ! C; 8t0 2 (a; b); имеет на (a; b) единственное решение x = 0:

Доказательство. Функция x = 0 является решением задачи Коши (2.2). В силу теоремы 1.2 оно единственно.

Теорема 2.2. Множество решений уравнения (2.1) образует комплексное векторное пространство.

Доказательство. Утверждение теоремы означает:

1. если '1 и '2 решения (2.1), то '1 + '2 есть решение (2.1);

Доказательство. Линейная зависимость функций означает, что одна из функций является линейной комбинацией остальных, т.е. в определителе Вронского (2.7) один столбец является линейной комбинацией остальных.

Обратное утверждение теоремы 2.3, вообще говоря, неверно. Так как легко привести примеры линейно-независимых функций, для которых определитель Вронского тождественно равен нулю.

Упражнение 2.2. Доказать, что функции

(

t2; 1 < t < 0;

'1(t) =

0 0 t < 1;

(

01 < t < 0;

'2(t) =

t2; 0 t < 1

a) линейно-независимы на ( 1; 1) ,

б) имеют равный нулю вронскиан на ( 1; 1) , т.е., W ['1(t); '2(t)] = 0; t 2 ( 1; 1):

Таким образом, в общем случае, из равенства нулю вронскиана не следует линейная независимость функций. Однако, в отличие от произвольных функций, для решения уравнения (2.1) справедлива

Теорема 2.4. На интервале (a; b) непрерывности коэффициентов pj(t); j=1; : : : ; n; уравнения (2.1) для решений '1(t); : : : ; 'n(t) следующие утверждения эквивалентны

1. W (t) = W ['1(t); : : : ; 'n(t)] = 0 при всех t 2 (a; b)

2. W (t) = W ['1(t); : : : ; 'n(t)] = 0 при некотором t 2 (a; b)

3. '1(t); : : : ; 'n(t) линейно-зависимы на (a; b) .

Доказательство. Достаточно доказать импликации 1) ) 2) , 2) ) 3) , 3) ) 1): Импликация 1) ) 2) очевидна, а 3) ) 1) доказана в теореме 2.3. Докажем 2) ) 3): Пусть W (t0) = 0; t0 2 (a; b): Рассмотрим линейную алгебраическую однородную систему

с неизвестными c1; : : : ; cn: Определитель этой системы есть W (t0) = 0: Следовательно, система имеет ненулевое решение c01; : : : ; c0n: Рассмотрим функцию

В силу следствия 2.1 '(t) решение (2.1), которое в силу (2.8) имеет ненулевые начальные данные. Следовательно, в силу теоремы 2.1, '(t) 0; что означает линейную зависимость 'j(t); j = 1; 2; : : : ; n; так как набор c01; : : : ; c0n ненулевой.

Теорема 2.5. Произвольные n линейно-независимые решения уравнения (2.1) образуют базис пространства решений этого уравнения.

Доказательство. Пусть '1(t); : : : ; 'n(t) линейно-независимые решения. Требуется доказать, что произвольное решение является линейной комбинацией реше-

относительно c1; : : : ; cn: Определитель этой системы W ['1(t0); : : : ; 'n(t0)] 6= 0: Следовательно, система (2.10) имеет единственное решение c01; : : : ; c0n: Рассмотрим функцию

Очевидно, (t) есть решение (2.1) как линейная комбинация решений. При этом в силу (2.10) начальные данные решений (t) и '(t) совпадают. Следовательно, в силу единственности, '(t) (t) и (2.11) доказывает утверждение теоремы.

Определение 2.2. Базис пространства решений, т.е., произвольные n линейнонезависимых решений называют фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (2.1).

Теорема 2.6. ФСР уравнения (2.1) на интервале (a; b) существует.

Доказательство. Пусть 8t0 2 (a; b) . Рассмотрим следующие n задач Коши

По теореме Пикара-Линделёфа решение задач Коши (2.12) x1(t); : : : ; xn(t) существует и единственно. При этом W [x1(t0); : : : ; xn(t0)] = 1: Следовательно, x1(t); : : : ; xn(t) линейно-независимы.

Заметим, что начальные данные решений '1(t); : : : ; 'n(t) , выписанные столбцами, образуют (n n) матрицу (t0); которая называется начальной. Очевидно,

W (t0) = det (t0):

Определение 2.3. Если '1(t); : : : ; 'n(t) ФСР уравнения (2.1), то функция

называется общим решением.

Общее решение обладает следующими свойствами:

1.при каждом наборе c1; : : : ; cn 2 C (2.13) является решением;

2.произвольное решение представимо в виде (2.13).