Lektsii_Mekhanika_Ch_1

14.8. Прецессия волчка.

Быстро вращающийся симметричный волчок установлен на горизонтальную поверхность (рис. 67). Точка касания O неподвижна. Прецессия волчка вызывается моментом силы тяжести, так как линия действия реакции проходит через неподвижный центр O .

При указанном направлении вращения момент силы тяжести вызывает прецессию в направлении, указанном на рисунке. Угловую скорость прецессии

(рис. 67)

можно определить, пользуясь (274):

mg OC sinα = Izωzωпр sinα

т.е.

Следовательно, угловая скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость собственного вращения.

(рис. 69) Аналогично можно показать, что:

py = pn

Следовательно:

px = py = pz = pn

15.2.Уравнение гидростатики Эйлера

Впокоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).

Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в

каждом из координатных направлений:

δp δp δp δx ; δy ; δz

На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные (массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.

На заднюю грань действует сила давления:

Кроме того, в этом направлении действует составляющая массовой силы dθ, которую можно определить по второму закону Ньютона:

dθx = ρdVax

где: ρ - плотность среды, ax- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к. объем покоится,

dFx − dFx′ + dθx = 0

Аналогично для других координатных направлений:

(277), (278), (279) и представляют собой систему уравнений гидростатики Эйлера.

15.3. Уравнение поверхности уровня

Поверхностью уровня называют такую поверхность, во всех точках которой

Пример, Пусть жидкость покоится в поле тяготения 3емли.

Плоскость 0XY горизонтальна, а ось z направлена вертикально вверх. В этом

случае:

ax = ay = 0,az = −g

Тогда:

− gdz = 0

т.е. z=const, т.о. поверхности уровня (в частности, свободная поверхность) горизонтальны.

15.4. Закон Паскаля

Жидкость покоится в поле тяготения Земли. В этом случае уравнения Эйлера имеют вид:

С учетом (282) и (283) последнее уравнение (284) принимает вид:

откуда:

15.5.2. Сообщающиеся сосуды заполненные неоднородной жидкостью

(рис. 72)

Положим, что сосуды заполнены неоднородной жидкостью (несмешивающимися жидкостями с удельными весами γ1 и γ2. Через границу раздела жидкостей проводим уровень Z0 =0, на котором давление равно Р0 (рис. 72).

Сравним свободную поверхность в левом сосуде с границей раздела со стороны жидкости с удельным весом γ1:

Сравнивая записанные выражения, получим, что свободные поверхности в сосудах устанавливаются на уровнях, обратно пропорциональных удельным весам жидкостей:

15.5.3. Закон Архимеда

Тело погружено в жидкость (рис. 73).

Рис.73.

На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и нижнюю грани этого объема действуют силы давления:

dF = p1dS1,dF′ = p2dS2

Равнодействующая сил давления в проекции на вертикальную ось равна: dFz = (p1 − p2 )dS

где: dS - проекция dS1 (или dS2) на горизонтальную плоскость. Разность давлений по закону Паскаля равна

p = p1 − p2 = (p2 +γ z)− p2 = γ z

где: dZ - разность уровней центров граней выделенного объема. Тогда равнодействующая сил давления равна

dFx = γ zdS = γdV

где dV - величина выделенного объема.

Вертикальная проекция сил давления, действующих на всю смоченную поверхность тела, может быть получена путем интегрирования предыдущего выражения:

Fx = ∫dFz = γV =θ

(V )

т.е. сила, действующая со стороны жидкости на погруженное в нее тело по величине равна весу жидкости, вытесненной телом.

Формулировка закона: на тело, погруженное в жидкость действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме, вытесненном телом, и приложенная в той точке смоченной поверхности тела, в которой вертикаль, проведенная через центр масс вытесненной жидкости, пересекает эту поверхность.

Существенным в формулировке закона Архимеда является правильное указание точки приложения выталкивающей силы. Действительно, поскольку сила Архимеда обусловлена действием распределенных по поверхности сил давления со стороны жидкости, то и равнодействующая сил давления должна быть приложена к смоченной поверхности тела (но не к центру масс вытесненной жидкости, как это часто утверждается). Кроме того, наличие в плавающем теле деформаций можно объяснить только при таком рассмотрении силы Архимеда.

15.6. Механика движущихся жидкостей.

ВВЕДЕНИЕ

При изучении движения жидкостей и газов применяются различные способы описания движения. Наиболее часто используется метод, предложенный Эйлером. Но Эйлеру в области пространства, занятой движущейся жидкостью, выделяется точка, в которой определяются параметры движения различных жидких частиц, проходящих через эту точку в различные моменты времени.

Основной задачей механики движущейся жидкости является нахождение распределений скорости, плотности и давления по потоку жидкости:

vx = vx (x, y, z,t)

vy = vy (x, y, z,t)

vz = vz (x, y, z,t)

ρ= ρ(x, y, z,t)

p = p(x, y, z,t)

Для установившегося потока, когда параметры потока в фиксированной точке его не изменяются с течением времени, задача сводится к нахождению распределений:

vx = vx (x, y, z),

vy = vy (x, y, z),

vz = vz (x, y, z),

ρ= ρ(x, y, z),

p = p(x, y, z,t).

Ещё более упрощается задача для идеальной жидкости. В случае установившегося потока идеальной жидкости необходимо найти распределения:

vx = vx (x, y, z),

vy = vy (x, y, z),

vz = vz (x, y, z),

p = p(x, y, z,t).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.Линией тока называют кривую, в каждой точке которой касательные к ней совпадают по направлению с вектором скорости в данный момент времени.

2.Поверхностью тока называют поверхность, образованную линиями в тока. 3.Поверхность тока, проходящую через замкнутый контур, называют трубкой тока. 4.Часть потока жидкости, ограниченную трубкой тока, называют струёй жидкости. Пpи установившемся потоке жидкость внутри трубки тока а движется как в трубке

с твердыми стенками.

15.7. Расход жидкости

Различают объемный, массовый и весовой расходы жидкости. Объемным расходом называют объем жидкости, протекающий в единицу времени через заданную площадку. Для площадки элементарно малой площади dS объемный расход равен:

dV = vdS

Аналогично массовый расход определяется величиной протекающей через площадку массы жидкости в единицу времени:

dM = ρdV = ρvdS

Вес жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, называют весовым расходов:

dθ = γdV = γvdS

В этих выражениях: v - скорость жидкости, ρ - плотность жидкости, γ - удельный вес жидкости.

15.8. Уравнение неразрывности струи жидкости

Оделим участок струи жидкости (рис.74). Через левое сечение площади S1 в участок трубки тока в единицу времени втекает жидкость со скоростью v1, принимаемой одинаковой по сечению. Массовый расход жидкости в этом сечении равен:

M1 = ρ1v1S1

Аналогично массовый расход для правого сечения равен:

M2 = ρ2v2S2