Lektsii_Mekhanika_Ch_1

т.е. совпадает с (243). Т.е. работа центральных сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями перемещаемого тела.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными. К ним, например, относятся силы упругости, силы электростатического взаимодействия между точечными зарядами, гравитационные силы, а силы трения – не являются консервативными.

13.5 Потенциальная энергия.

Потенциальной энергией называют энергию, определяемую конфигурацией системы, относительным расположением отдельных взаимодействующих тел. выражение для потенциальной энергии для произвольного взаимодействия записать сложно, обычно определяют ее изменение относительно уровня, условно принятого за нулевой. Например, потенциальная энергия тела массы m в поле тяготения Земли, находящегося на высоте h

над ее поверхностью:

γmM Ep = − +

R h

а на поверхности:

Ep0 = − γmM R

Изменение потенциальной энергии тела относительно поверхности Земли:

При r « R (225) принимает вид:

E'p = γmMh = mgh R2

Таким выражением и пользуются, как правило, при расчетах. Здесь потенциальная энергия отсчитывается от определенного уровня (поверхности Земли), на которой она условно принята нулевой.

Такой подход оправдан тем, что при изменениях конфигурации систем изменение состояния определяется не самим значением потенциальной энергии, а только изменением ее.

13.6. Нормировка потенциальной энергии, закон сохранения энергии.

Положим, что в замкнутой консервативной системе выделены состояния 1, 2 и 3, условно принятое за исходное. При переходе из состояний 1, 2 в исходное (рис. 57) работа консервативных сил равна:

(рис. 57)

A10 = Ek0 − Ek1 (246)

A20 = Ek 0 − Ek2 (247)

откуда:

Т.е. для любых состояний системы кинетическая энергия в этом состоянии и работа внутренних сил по переходу из выбранного состояния в исходное - величина постоянная для всех состояний системы. При этом знак работы определяется выбором исходного состояния. Для расчетов важно, чтобы работа сил на любом переходе имела одинаковый знак, поэтому в выражении (248) к значению работы надо добавить такую положительную величину a , чтобы:

A10 + a > 0,

A20 + a > 0.

Сама проделанная операция выбора a называется нормировкой потенциальной энергии, а

для всех состояний системы. Это и есть закон сохранения механической энергии. Пример нормировки приведен в предыдущем параграфе.

14. Динамика твёрдого тела.

Абсолютно твердым телом называют абсолютно неизменяемую систему точек, отдельных частиц тела, поэтому к абсолютно твердому телу можно применить уже описанные законы динамики системы точек при условии ее неизменяемости.

14.1.Момент инерции твёрдого тела.

Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

I = ∑mi ri2

i

где mi - масса i -й частицы тела, ri - ее расстояние от заданного центра или оси.

Сравнивая (230), (231), (232) и (233), получим связь момента инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде

14.2.Примеры расчёта сил инерции.

14.2.1Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящий через его центр масс.

14.2.2.Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

(рис. 60)

Размеры тонкой пластины массы m приведены на рис. 60, выделим в пластине на расстоянии x от оси z узкий слой ширины dx и запишем его момент инерции:

14.3. Теорема Штейнера.

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси z' равен сумме момента инерции относительно оси z , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось z , параллельную заданной

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно z :

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma2), где М - масса тела. В последнем слагаемом:

2∑mi ri a cosαi = 2a∑mi xi

следовательно, по определению центра масс:

∑mi xi

xC = i

M

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

Iz' = Iz + Ma2

что и требовалось доказать.

14.4. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

1. Поступательное движение

3.Плоское движение тела

Влюбой момент времени плоское движение можно представить, как вращение вокруг мгновенного центра вращения, пусть О -мгновенный центр вращения, а т. С - центр с масс тела. Тогда:

где: IC и I0 - моменты инерции тела относительно осей, проходящих через центр масс и

СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Момент импульса тела в произвольном случае его вращения не совпадает по направлению с вектором угловой скорости вращения. Тем не менее, существует такие оси, при вращении вокруг которых момент импульса и угловая скорость по направлению совпадают. Такие оси называются главными осями инерции (свободными осями вращения). Таких осей в каждом теле три, все они взаимноперпендикулярны и проходят через центр масс тела, поэтому их удобно принимать в качестве системы отсчета для каждой из этих осей

Nx = Ixωx , N y = I yω y , Nz = Izωz .

В случае произвольного по форме тела легко показать, что N и ω (омега) не совпадает по направлению (рис. 62).

Кинетическая энергия тела при таком вращении может быть представлена суммой энергий вращения вокруг трех главных осей: