6. Приведение к каноническому виду ДУ-2 с 2-мя незав. перем.

Рассмотрим2

ДУ22-го порядка2

с 2-мя независимыми переменными

+ 2

+

+

+

+ =

11

2

12

22

2

(1)

1)

Уравнение гиперболического типа

11

− 2 12 + 22

= 0

= 12 − 11 22 > 0:

тогда хар. ур-ние

2

2

2

распадается на 2:

12+

12−

=

11

, =

11

ξ φ

x, y =

с

ξ ξ

ξ

φ

,

ψ

x, y =

ξ

Пусть

11

– первые интегралы, тогда согласно теореме

η = ψ x, y

будет решением

ηx

2 + 2 12

xη yη+ 22

yη

2 = 0

будет решением1

2

2

2

= x, y

11

x

+ 2 12 x y + 22

y

= 0

Тогда при такой замене

,

Получаем:

12

2

11

=

0

22 = 0

ξ

η

ξ

η

2

2

=F

+

+

+ =

ξ

η

– 1-ый

канонич

вид

2 −

2

2

ξ η

=Ф(u, ξ η

) – 2-ой канонич вид

=

ξ

η

Если уравнения φ

x, y = 1, x, y = 2

,

,

,

с

ψ

разрешить относительно y:

1 , 1

, = 2( , 2)

То получим 2 семейства характеристических линий для

уравнения (1).

2) Уравнение параболического типа

D=0 имеем одно ОДУ

=

12

=> имеем 1 первый интеграл.

11

11

= 0

− 2 12 + 22

=

x, y

=

x, y

x, y

φ

x, y

=

1

ξ

φ

и η

ψ

, где ψ

–

2с В качестве замены выберем2

произвольные достаточно гладкая функция такая, чтобы якобиан преобразования

≠ 0

x, y

φ

.

x

y

ψ

ψ

. Т.к. φ

является 1-ым интегралом для характеристического

то

= x, y = 0

ξ

ξ ξ

ξ

Т.к.

уравнения в п.д., то из ξ

=

ξ η

+ 2

ξ η +

= 0

ξ= 0,

ξ

=

Тогда

11

2

2

12

11

22

11

x

11

22 x y

22

y

2

11

ξ x +

y

= 0

=

ξ x x

+

x y +

y

x +

Рассмотрим

ξ η

11

22

12

11

11

22

+

y

y =

x

x

+

y +

y

x +

y =

22

η

11

ξ

11

η

22

η

22

11

η

22

η

11

x

+ 22

y

11 x

+ 22

y = 0

η

η

ξ

ξ

Получили канонический вид для уравнения параболического типа:

2

ξ η

η

= ( , , u,

,

)

2

ξ

η

3)

x, y = ; = ( , )

параболич типа: φ

:

1

Уравнение

эллиптического типа

1

12+

−

12−

−

< 0,

=

11

,

=

11

,

Ф

, =

φ

x, y ± ,

ψ

x, y

т.к. Ф

– первый интеграл для

2

+ 2

+

2

= 0

, т.е.

x

y

y

11 x

+ ψ x

12

x

22

y +

y

+

y + y

= 0

φ

x

2

+ 2

φ

+

x

φ

φ

11

2

2

12

12

22

2

22

2

2

11

−

+ 2

x x

y

−

x y +

x

y +

x y

) +

−

φ

x

x

+φ2 ( x

φ

φ

y

y +

φ ψ

φ

ψ ψ

2

ψ φ

φ ψ

2

ψ

2

y y

= φ

2

+ 2

x

y +

2

−

+ 2

x y +

+ 2

x x +

φ

φ

y

x

y

φ ψ

11

12

22

11

ψ

12

ψ ψ

ψ

11

φ ψ

12

φ ψ

+

ψ

+ 22

φ ψ

= 0

,

y x

x y

y y

=

x, y

=

Выбирая в качестве ξ

=

φ

x, y

=

ψ

Ф получим

Ф η

11 − 22 + 2 12 = 0 => 11 = 22, 12 = 0

Т.о канонический вид уравнения эллиптического типа

ξ

+

η

= ( ,

,

)

2

, u,

2

ξ η

. Уравнение эл. типа не имеет действительных

2

2

Рассм. ДУ-2 с n пер.:

2

,где

коэффициенты

+

+ = 1

=1 определены=1

в области=1Ω

И

соответств

:

Подставим в

, , ,

;

2

2

.

=

2

Запишем соотв. ей хар. полином: 0 =

(2)

=1

=1

(1):

→

2

Выделим главную часть ур-я→

Хар.полином (3) представляет

собой квадратичную форму.

0

,

=

=1

=1

0 (3)

(Ω)

Пусть

Ω

, т.е.

1, 2, … ,

= 0

, где

2

В области

рассмотрим поверхность Г с ур-ем

=

=

точки

Ω

P(x, grad

)=

= 0

Вернемся к квадратичной=1форме=1

(3). Из алгебры известно, что для кв. формы

виду.

невырожденное преобразование, приводящее ее к каноническому

;

=

=1

Пусть С – матрица, приводящая (3) ее к канон.виду, т.е.

= =1

= =1

Подставляем в хар.полином:P(

0

,

)=

=1

=1

=1

=1

,

где

=

=1

=1

2

, где

= 0, ±1

Квадратичную форму можно привести к виду:

=1

Рассмотрим ур-е

2

+ =

1

=1

=1многочлен

:

=1

Выпишем для ур-я (1) хар.

+

0

,

=

0

(2)

=1

=1

=

=1

, где

- эл-ты СТ. Тогда

=

=

2

=1

=1

2

=

Т

=1

.о. подставляя наши=1 производные

в ур-е(1), получим

2

, где

=1

=1

+

=1

+ =

=

=1

=1

=

=1

2

+

2

+

2

+

+

+

+ =

12

22

32

1

2

3

2

−

2

−

2

+

+

+

+ =

12

22

32

1

2

3

2

+

2

+

+

+

+ =

22

32

1

2

3