Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

P2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>


II Задача Коши
1.	Постановка задачи Коши ...........................................................................................		2
2.	Корректность задачи Коши........................................................................................		3
3.	Общее решение ПДУ с ЧП.........................................................................................		4
4.	Метод характеристик решения ЗЛ для уравнения колебаний струны..................		5
5.	Корректность ЗК для волнового уравнения .............................................................		6
6.	Пример некорректно поставленной задачи по Адамару ........................................		7
7.	Физическая и геометрическая интерпретации формулы Даламбера ....................		8
8.	ЗК для неоднородного волнового уравнения...........................................................		9
9.	ЗК для волнового уравнения на полуограниченной прямой................................		10
10.		ЗК для волнового уравнения в пространстве ......................................................	12
11.		Метод усреднения ..................................................................................................	13
12.		Метод спуска ..........................................................................................................	14
13.		Метод последовательных приближений для решения задачи Гурса ...............	16
14.		Метод Римана для решения обобщенной задачи Коши для гиперболического
уравнения .......................................................................................................................			17
15.		Постановка ЗК для уравнения теплопроводности..............................................	20
16.		Метод интегральных преобразований для ЗК ур. теплопроводности..............	21
17.		Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности .............	23
18.		Корректная постановка ЗК для уравнения теплопроводности .........................	24

1. Постановка задачи Коши

Пусть − n-мерное евклидово пространство, - некоторая связная область в

этом пространстве,

имеет координаты x=(x1, x2, … , xn).

В области рассмотрим уравнение 2-ого порядка с n независимыми

переменными.

( )

+ = ( ) (1)

Где

, , - достаточно гладкие функции .

В пространстве рассм. поверхность Γ0, которая задается уравнением

(x1, x2, … , xn) = 0, 2

, ≠ 0.

Пусть Γ - часть поверхности Γ0, лежащей в области , т.е

= −

+, − + = ø

Зададим на Γ условие (2): |

, где

2 ,

−

единичная номаль к Γ в т. ,

( , , … , ),

, =

= (

(

)2)21

| |

Задача Коши состоит в нахождении 2

, удовлетворяющей в уравнению

(1) и условиям на поверхности Γ (2).

Замечание: Не для всяких функций 0 и 1

такое решение существует.

Обозначим дифференциальный оператор:

≡

( )

В частности, если поверхность Γ - плоскость xn = 0, то з.Коши запишется в

виде:

= , |

′

, ′

= ( , , … ,

)

xn =0

−1

1 2

Рассмотрим поверхность Γ, которая задается , , … ,

= 0. Выберем на ней

некоторую точку x0 и т.к. ≠ 0, то

≠ 0 в т. x0 .

Пусть

≠ 0 в т. x

. Тогда по теореме о неявной функции окрестность

, в

которой , , … ,

= 0 однозначно разрешимо относительно x

= ( , , … ,

), т.е. т.

(3).

−1

′

Поверхность Γ называется k раз непрерывно дифференцируемой, если

−1, в которой ( ′ )

Это не весь параграф, но то, что дальше было в лекции к постановке вроде как не относится!

2. Корректность задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши в случае 2-х независимых переменных:

L(u)≡a11

+2a12

+a22

+cu=f(x,y) (1)

u| = (x,y) ;

| = (x,y)(2)

Чтобы ввести понятие корректной постановки ЗК, нужно ввести пространства

V1( ),V2( ),V(u).

Если они метрические, то на них заданы соответствующие расстояния

1( 1, 2), 2( 1, 2), ( 1, 2).

Если они нормированные, то 1=|| 1 − 2|| 1 , 2=|| 1 − 2|| 2 , =|| 1 − 2|| .

Решение (1-2) непрерывно зависит от начальных данных, если > 0 > 0 ,что1( 1, 2)< и 2( 1, 2)< => ( 1, 2)< ; , -соответствующие начальные

данные в задаче: L(ui)= , ui = , = . i=1,2

ИТАК. ЗК поставлена корректно, еcли :

1)V1, V2 V, где u – классическое решение задачи(1-2)

2)V1, V2 ! V –решение ЗК единственно

3)V1, V2 V – решение ЗК непрерывно зависит от начальных данных Если не выполнено одно из условий, то ЗК считается некорректно поставленной. Если не выполнено 3-е условие задача называется неустойчивой по начальным

данным

3. Общее решение ПДУ с ЧП

ПДУ – простейшее дифференциальное уравнение

1) Всякое ДУ 2го порядка гиперболического типа может быть приведено к виду:

2 +

cu=f;

Если положить с=0, то 2 =f

Интегрируем по х, учитывая, что постоянная, возникающая при интегрировании ДУ с ЧП по одной переменной, может зависеть от других переменных:

	=∫ ( , ) +c(y);
	=∫ ( , ) +c(y);
	0
Интегрируем по y: u(x,y)=∫					∫ ( , ) + ∫ ( ) +c2(x)
			0		0		0
u(x, y) = c (y) + c		2	(x) + ∫	∫		( , ) .
	1	2	0		0
			0		0	2
Если уравнение однородное						2	=0, то его ОР: u(x, y) = c (y) + c		(x)
								2

							1

2)Для уравнений эллиптического типа можно воспользоваться аналитической функцией комплексного переменного.

2 2

Рассмотрим уравнение Лапласа 2 + 2=0 –и ФКП f(z)=u+iv для нее выполняется

	−	= 0

условие Коши-Римана :		Продифференцируем 1-е уравнение по х, а 2-е

	+	= 0

по у. Получаем 2 2 + 2 2 = 0 , u – Ч.Р. уравнения Лапласа. Аналогично

продифференцируем 1-е по у, а 2-е по х получим, что v тоже удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция = 21 1 – фундаментальное решение уравнения Лапласа в случае 2-х

независимых переменных, где r=																											( − )2										+ ( − )2
																															0											0
																															2								2			2
В случае 3-х независимых переменных:																																				+					+			= 0
В случае 3-х независимых переменных:																															2					+			2		+	2		= 0
													1
u x, y, z =													1			– ФР,									( − )2 + ( − )2 + ( − )2

											4
											4			0							0									0											0						0
														0			2							3 −0 2																2							2
	=				1		(−			−		0	);				2		=	1		(		3 −0 2					−			1			);					2	=		1	(	3 −0		2	−		1	)
	=			4			(−				3		);				2		=	4		(				5			−			3			);					2	=		4	(		5		−	3		)
				4							3						2			4						5						3								2			4			5			3
2		=				1		(	3 −0					2	−	1		);	2		+		2			+		2		=				1				3 −0				2+ −0 2+ −0								2		−	3	= 0
2		=				4		(			5				−	3		);	2		+		2			+		2		=			4													5						−	3	= 0
2						4					5					3			2				2					2					4													5							3
=					1			удовлетворяет уравнению Лапласа.
=			4					удовлетворяет уравнению Лапласа.
			4

4. Метод характеристик решения ЗЛ для уравнения колебаний струны

Струна – тонкая нить, расположенная вдоль оси x

u(x,t) задает смещение точек струны с координатой x в момент времени t ЗК для однородного уравнения поперечных колебаний струны

			2				2 2			2
						=			,	,		= −∞ < < ∞, < ,	1
				2		=		2	,	,		= −∞ < < ∞, < ,	1
\| =0 = ,								−∞ < < ∞,			2( 1) 2
	\| =0 = ,							−∞ < < ∞,				1( 1)(3)
	\| =0 = ,							−∞ < < ∞,				1( 1)(3)

		– задает начальное смещение точек струны
( ) – задает начальную скорость точек струны

=					− ; N - натяжение струны; - линейная плотность струны
=					− ; N - натяжение струны; - линейная плотность струны

Для отыскания решения задачи (1–3) применим метод характеристик:

1)Привести исходное уравнение (1) к каноническому виду

2)Найти ОР приведенного уравнения

3)Определить явный вид решения с помощью условий (2-3)

Для (1) характеристическое УПД:					2 − 2 2 = 0
− = 1,
характеристики : + =
			2
Производя замену переменных = + , = −
приведем уравнение (1) к каноническому виду							2	= 0.
приведем уравнение (1) к каноническому виду								= 0.

ОР = 1 + 2( ).
Откуда ОР уравнения колебаний струны (1): = 1								+	+ 2( − ). (4)
Используем начальные условия(2-3):
			= 1 + + 2( − )
	=0 = 1				+ 2		= (5)
		\|		= ′	− ′	= (6)
		\|	=0	= ′	− ′	= (6)
			=0	1	2
где 1,2′( )- производные по переменной x .

Интегрируя равенство (6) по отрезку( 0, ), получаем второе соотношение:
	−		=	1	∫			+ (7)
	−		=		∫			+ (7)
1	2			0
				0
Разрешим систему алгебраических уравнений (5,7), тогда
=		1	+			1	∫ , и =						1	−	1	∫ .
=			+				∫ , и =							−		∫ .
1	2							0	2			2				0
	2							0		1		2				0		1	∫ + . (8)
Подставляем в ОР: ,									=	1	+	+ −				+		1
Подставляем в ОР: ,									=		+	+ −				+	2
									2								2		−

(8) – формула Даламбера – полностью определяет решение ЗК (1-3)

5. Корректность ЗК для волнового уравнения

Рассмотрим задачу

− 2

= 0,

в = −∞ < < ∞, < ,

| =0 = ,

−∞ < < ∞,

| =0 = ,

−∞ < < ∞,

(3)

Для ее решения получена формула Даламбера:

+ − +

∫ + (4)

−

Классическое решение задачи (1-3) существует и единственно.

Покажем непрерывную зависимость решения от начальных данных:

1, 2

sup

1 − 2

−∞< <∞

1, 2

sup

| 1 − 2|

−∞< <∞

1, 2

sup

1 − 2

−∞< <∞

Рассмотрим 2 задачи:

= 2

= 1,2

| =0 =

Положим, что 1

1, 2 < и 2 1, 2

Оценим:

1 − 2 ≤

+ − 2 +

− − 2 − +

1 − 2 ≤

= 1 +

≤ (1 + )

−

Если выбрать 0 < <

, то получим, что

> 0, 1

1, 2

< , 2

1, 2

< => 1, 2

< , т.е. решение задачи (1-

3) непрерывно зависит от начальных данных => задача поставлена корректно.

6. Пример некорректно поставленной задачи по Адамару

Рассмотрим задачу для уравнения эллиптического типа:

2 2 + 2 2 = 0, | =0 = , | =0 = ,−∞ < < +∞, < , Г( = 0)

Пространство 1 = 2 = 0 ( 1) – пространство ограниченных аналитических функций. Т.к. уравнение относится к типу Ковалевской, то из теоремы Ковалевской! решение в классе аналитических функций, по крайней мере, в локальной окрестности кажжой точки линии Г выполняются первые два пункта корректной постановки ЗК. Покажем, что решение такой задачи может быть неустойчивым по

начальным данным.

Рассмотрим 2 задачи:

2 1

= 0, |

= 0,

= 0

2 2

= 0, |

= 0,

= −

, n≥0.

Решения: 1) ≡0

2) =

−

cos ( ),

Тогда 1( 1, 2)=0< , 2( 1, 2)≤ −

< , n>(ln )2.

Оценим: | − |=

− ( )

∞.

→∞

Следовательно, решение неустойчиво по начальным данным, т.е. задача поставлена некорректно.

7. Физическая и геометрическая интерпретации формулы Даламбера

Рассмотрим задачу для волнового уравнения:


	2	= 2	2	(1),	\| =0 = (2),	\| =0 = (3).
	2	= 2	2	(1),	\| =0 = (2),	\| =0 = (3).

Решение этой задачи в виде комбинации: ,							= 1 −	+ 2( + )

Положим 2 = 0, тогда , = 1 − .

1)Физическая. Наблюдатель в момент времени t=0 находится в точке с координатой x=C, а затем движется в положительном направлении оси х со

скоростью а: = + , 1 = 1( ).

Т.е. профиль струны для него остается постоянным. Такое явление называется

распространением прямой волны.

Соответственно, 2( + ) задает профиль распространения обратной волны. Чтобы построить профиль струны в произвольный момент времени, необходимо построить линии 1( ) и 2( ), задающие профиль струны в начальный момент времени, а затем раздвигать их с постоянной скоростью в противоположных направлениях. Профиль струны в произвольный момент времени получен сложением ординат раздвинутых кривых.

Рассмотрим профиль струны в начальный момент времени в виде равнобедренного треугольника: ∆ = 28− 1.

2)Геометрическая. Есть точка на фазовой

плоскости. ( , )=					1	(		− +

		0		0	2		0	0
	+	)+	1	∫ 0+ . Проведем

0	0		2	0−

через 0, 0		характеристики: x-at= 1, x-

at= 2,очевидно: 1= 1, 2= 2; а т.к. они проходят через 0-a 0= 1, 0-a 0= 2

Решение в ( 0, 0):

( 0, 0)=12 ( ( ) + )+ 21 ∫ .

Решение полностью определяет характеристический ∆. Для построения решения в точке А необходимо значение

функции в т. P, Q и значения на [P, Q]

8. ЗК для неоднородного волнового уравнения

1 2					=			2					+ ( , )													−∞ < < ∞									<				(1)
		2			=							2	+ ( , )													−∞ < < ∞									<				(1)
\| =0 = ( )																						−∞ < < ∞													(2)
		\| =0 = ( )																				−∞ < < ∞													(3)
		\| =0 = ( )																				−∞ < < ∞													(3)

Для построения решения (1-3) введем вспомогательную функцию ( , , ) ,

которая является решением задачи.
1		2				=				2							−∞ < < ∞													>			(4)
						=					2						−∞ < < ∞													>			(4)
		2									2
, ,										= 0 −∞ < < ∞																=						(5)
			, ,						= ( , )								−∞ < < ∞															(6)
									= ( , )								−∞ < < ∞															(6)

C учетом формулы Даламбера:
		, ,									=				, − ,								=	1			∫ + (−)							, (7)
		, ,									=				, − ,								=				∫ + (−)							, (7)
																									2		−(−)
																									2		−(−)
Тогда решение неоднородного уравнения (1):
														, , 0
, =																		+ , , 0
, =																		+ , , 0
																							1		∫ + ( ) ;															1	∫ + ( )
Согласно (7):																, , 0				=			1															, , 0 =		1
Согласно (7):																, , 0				=																		, , 0 =
																							2			−														2	−
				, , 0																			2			−														2	−
				, , 0										+ − ( − )
													=
													=							2
																				2
Т.е. это действительно формула Даламбера для однородного уравнения
Теорема: Решение неоднородного уравнения (1) с однородными начальными
условиями , 0																= 0							, 0				= 0 можно представить в виде


																							,							= 2					, ,

																																0
Доказательство:
		= 2										, ,				+ 2 ∫								, ,					= 2 ∫					, ,
		= 2										, ,				+ 2 ∫													= 2 ∫
																		0															0
				2														0									2						0
				2					= 2							, ,			+ 2 ∫								2			, ,
				2					= 2										+ 2 ∫											2
				2																			0							2
2													2			, ,													2			, ,
			= 2																			=
2			= 2									0			2							=					0				2
2															2																2

Если подставить в уравнениение (1), то получим, что ( , ) удовлетворяет
уравнению.																																									/доказано
Решение (1-3): ,																		=			, ,0							+				, , 0			+ 2 ∫				, , , где , , =
Решение (1-3): ,																		=										+				, , 0			+ 2 ∫				, , , где , , =
																																					0
1		∫ +					−																							+ −			−				0
1							−						, , =																	+ −			−			+
2													, , =																			2				+
2		− −																														2
+		1	∫ + ( ) +															∫		∫ + (−)									, (8)- формула ДюАмеля.
+	2		∫ + ( ) +														2	∫		∫ + (−)									, (8)- формула ДюАмеля.
	2				−												2	0				−(−)

9. ЗК для волнового уравнения на полуограниченной прямой

1 2		2
		=		0	< < ∞	> 0 (1)
2			2
\| =0 = ( )				0	≤ < ∞	(2)
	\| =0 = ( ) 0				≤ < ∞	(3)

И на границе либо функция, либо производная:

\| =0 = ( )		≥ 0	(4)
	\| =0 = ( )	≥ 0	(5)

Если рассматривать аналогичную задачу для неограниченной прямой, т.е.

1 2	=	2		(6)

2			2
\| =0	= ( )			−∞ < < ∞ (7)

| =0 = ( ) −∞ < < ∞ (8)

То для (6-8) можно сформулировать лемму:

Лемма 1: Если начальные данные в (6-8) ( ) и ( ) являются нечетными функциями относительно некоторой т. x0, то решение (6-8) в этой т. равно 0

( 0, = 0)

Доказательство: Пусть 0 = 0, тогда условие нечетности:

= −(−)= −(−)

По формуле Даламбера: 0, =

−(− )

∫ = 0

/доказано

−

Лемма 2: Если начальные данные в (6-8) ( ) и ( ) являются четными

функциями относительно некоторой т. x0, то

( 0, )

= 0

Доказательство: ′

= ′ −

(0, )

′ − ′(−)

( − − ) = 0

/доказано

Далее рассмотрим 2 ситуации:

1 − 4

при = 0

= 0

2) (1 − 3), (5)

Применить формулу Даламбера не можем, т.к. , не определены для x<0, тогда

	, > 0	( ) , > 0
введем: Ф( )	− , < 0	и Ψ( ) −( ) , < 0		т.е. продолжим нечетным
образом.
Решение (1-4) для неограниченной прямой в виде:
		Φ + − Φ( − )			1	+
	, =	Φ + − Φ( − )	+		1	− Ψ

		2			2

, определена для всех х, t>0

В силу леммы1: | =0 = 0, т.е. условие (4) при = 0 выполнено.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.20164.18 Mб10Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika.pdf
#
28.08.2019418.82 Кб8oxi-short.doc
#
28.09.201939.65 Кб1oznakom_praktika.docx
#
11.11.2019101.38 Кб0O_kommunisticheskoy_revolyutsii.doc
#
29.02.2016793.8 Кб18P1.pdf
#
29.02.20161.16 Mб3P2.pdf
#
29.02.2016865.14 Кб4P3.pdf
#
03.12.20184.6 Mб6paks.doc
#
01.03.20161.48 Mб54panchenko-monogr.pdf
#
09.11.201979.87 Кб3paper - Белорусская модель #.doc
#
09.11.2019237.57 Кб2paper Mngt (G.Mincberg) #.doc