Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

P2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Кроме того для x>0: Φ x

= φ(x) и Ψ

= ( )

Т.е. u(x,t) удовлетворяет (1) и начальным условиям (2-3)

Следовательно, если рассматривать u(x,t) при ≥ 0 ≥ 0, получим:

+ −

∫ +

, > 0, <

u(x,t)= +

−

− −

∫

, > 0, >

−

Если рассматривать ЗК (1-3), (5) при ( )=0, то необходимо , продолжить

четным образом на всю действительную прямую:

Φ =

, > 0

Ψ =

, > 0 .

− , < 0

Решение (1-3), (5): u(x,t)=

Φ + +Φ −

∫ +

Ψ удовлетворяет задаче

−

для −∞ < < ∞, t>0.

Из леммы2 | =0 = 0, т.е. удовлетворяет (5) при ( )=0. Если рассматривать ее при x≥0,t≥0:

		+ + −					+		1	∫ + , > 0, <
							+	2		∫ + , > 0, <
u(x,t)=			2					2		−
u(x,t)=	+ − −		+	1	(∫	+			+ ∫		−	, > 0, >

	2			2
	2			2	0					0

Значит, чтобы решить ЗК (1-3), нужно начальные данные продолжить нечетным образом, если конец струны закреплен жестко(условие (4)) и четным образом, если конец струны свободен(условие (5))

10.ЗК для волнового уравнения в пространстве

1 2		= ∆, 1							− ∞ < , , < ∞, > 0

2 2
\| =0 = , (2)
	\| =0 = ,(3)

			2	2			2

=				+		+		,	( , , )
			2		2		2

Решением задачи (1-3) будем называть функцию u, непрерывную вместе со своими производными, входящими в уравнение (1), удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2-3). Построим ЧР, удовлетворяющее (1).

Зафиксируем точку M0(x0,y0,z0) и предположим, что функция u обладает
симметрией относительно этой точки, т.е ,											= ( , ), где =					–
															0
расстояние между M и M0. Тогда ,								= удовлетворяет одномерному
	1 2		=		2
волновому уравнению							.
волновому уравнению	2 2				2		.
Если ввести сферическую систему координат с началом в точке M0, то оператор
Лапласа (если не зависит от и ) в ней имеет вид
			1 2						1 2			1 2
	=					( )					=				( )
	=			2		( )			2	2	=			2	( )
Если u(r,t) ограничена при r=0, то v(0,t)=0.
Если условия (2-3) для u имеют вид \| =0 = ,													\| =0 = ( ),
Если условия (2-3) для u имеют вид \| =0 = ,													\| =0 = ( ),

то \| =0 = ,		\| =0 = ( ).
то \| =0 = ,		\| =0 = ( ).

Имеем задачу на полуограниченной прямой. Ее решение:

, =

−

+ ( +

Тогда ОР (1): ,

−

( +

Функции:

−

, =

( +

) – расходящиеся и сходящиеся

сферические волны соответственно, скорость распространения которых равна a.

Если v(0,t)=0, то 1

+ 2

= 0, 1

= −2

= ( )

−

. При → 0 0,

′( ).

11.Метод усреднения

Рассмотрим задачу для однородного волнового уравнения в пространстве:

1		2				=					, (1)																		−∞ < , , < ∞, > 0
2 2						=					, (1)																		−∞ < , , < ∞, > 0
\| =0 = , (2)
		\| =0 = , (3)
		\| =0 = , (3)
					2									2											2
					2									2											2
=									+										+										, ( , , )
=					2				+					2					+						2				, ( , , )
Зафиксируем точку М0(x0,y0,z0) и введем сферическую систему координат с
началом в т. М0																						и построим интегральное решение задачи (1-3) в т. М0. Введем
функцию ,																					=							1						=															1							Ω , = 2Ω, Ω = Θ Θ, Sr –
функцию ,																					=							4 2						=															4							Ω , = 2Ω, Ω = Θ Θ, Sr –
																												4 2																					4
сфера радиуса r с центром в т. М0, – среднее значение u на сфере.U(M0,t0)= (0,t0).
Покажем, что = ( , ) удовлетворяет уравнению																																													1					2			=					2
																																																													. Для этого (1)
																																													2					2							2				. Для этого (1)
																																		1												2				=																. Используем формулу Грина
проинтегрируем по шару:
проинтегрируем по шару:																																					2									2
для правой части:																																	( v − v												u) =																							−
для правой части:																																	( v − v												u) =																							−

Пусть v=1:																			=																					=																	=													2							Ω = 4 2
Пусть v=1:																			=																					=																	=													2							Ω = 4 2

1							2					=									4					∫ 2									2 ,							. Дифференцируем
2												=									2					∫ 2											2					. Дифференцируем
2			2																		2						0										2
2				+ 2								2					=					1				2					2 ( , )												2					+			2					=		1				2				.
												2										2											2																		2							2					2																					1 2		2
Если введем замену v(r,t)=r (r,t), то для v справедливо представл.:																																																		=
																																												2					2	=	2
, = +																										− −															, , =													1		+												−				1	−
, = +																										− −															, , =															+												−					−
											2																																																															2
0,						=					2		′					, учитывая,																					что ,																		= 0,													=				2		′( ).
0,						=							′					, учитывая,																					что ,																		= 0,													=						′( ).
																																														0						0													0													0
																														1												1																		1																			1
Рассмотрим:																	+													1									=			1			′ +												−			1					′		−								+				1	′			+		+
Рассмотрим:																	+																						=						′ +												−								′		−								+					′			+		+
		1																			2
+		1	′			−										=					2			′					+							.
+			′			−										=								′					+							.

Возьмем = 0, = 0:
( ) +								1		( ) \|																								=				2	′				, [														+		1										]\|												= ( , ) .
( ) +										( ) \|										=0, = 0														=					′				, [														+												]\|		=0, = 0										= ( , ) .
																				=0, = 0																								0																											=0, = 0													0	0
,										=					1																	Ω +									1														Ω , \|														= ,													\|		= ( ).
,										=																						Ω +																							Ω , \|									=0					= ,													\|	=0	= ( ).
	0					0								4																											4																							=0																			=0
														4																											4
,						=				1													1																			+					1					1							( )													– (4) - формула Пуассона
,						=										2																										+								2									( )													– (4) - формула Пуассона
											4					2																															4			2
											4																																				4

Чтобы построить решение надо интегрировать по сфере Sat с центом в точке (x,y,z)

cos =

12.Метод спуска

1 2	=	2		+	2	+	2

2 2			2		2		2

| =0 = ( )| =0 = ( )

Если положить, что функция не зависит от , т.е. ( , , ),то интегрирование по сфере в формуле Пуассона можно заменить на интегрирование по верхней полусфере, интегрирование по кругу, который получается при пересечении верхней полусферы с плоскостью Oxy.

= cos

2 − − 2 − − 2

Аналогично интеграл по нижней полусфере заменяем на интеграл по кругу радиуса at с центром в т.M, т.е. в формуле Пуассона интегралы надо два раза.

В результате получим:
		1			,
, =

					2 − − 2 − − 2

	2
	2

				1	,
	+

					2 − − 2 − − 2
			2		2 − − 2 − − 2
			2

- формула Кирхгофа, решение ЗК для волнового уравнения в случае двух пространственных переменных. Интегрирование ведется по кругу с центром в т. (x,y) и радиуса at.

= + cos= + sin=

, =	1		1	+	1
		2				2
	4				4

Если рассмотреть ЗК для волнового уравнения в случае 1 пространственной переменной, формулу Пуассона и ввести сферическую систему координат, направив полярную ось к оси Ox, т.е. = 2 sin = − , = +cos , и проинтегрировать по , 0 ≤ ≤ 2 , то получаем

−

, =

−

- формула Даламбера(плоские волны)

Для ЗК в случае 3-х пространственных переменных получена формула Пуассона, которая описывает сферические волны; в случае 2-х пространственных переменных

– формула Кирхгофа, которая описывает цилиндрические волны и в случае 1-ой пространственной переменной – формула Даламбера, которая описывает плоские волны.

Формулы Кирхгофа и Даламбера получены методом спуска, т.е. уменьшения количества пространственных переменных. Метод спуска применяется не только для волнового уравнения, но и для других типов уравнений при переходе от большего количества переменных к меньшему.

13. Метод последовательных приближений для решения задачи Гурса

Задачей Гурса называется задача, условия в которой заданы на характеристиках.

Рассмотрим задачу Гурса для простейшего уравнения гиперболического типа:

2 = ,

| =0 = 1( )| =0 = 2( )

Для задачи Гурса важными являются условия согласования, т.е. совпадения функций в точке пересечения характеристик: 1 0 = 2(0)

Линии x = 0, y = 0 принадлежат семейству характеристик, т.к. если запишем характеристическое УПД: = 0 = 1, = 2 имеем линии из этого семейства, на которых заданы начальные условия.

Проинтегрируем уравнение сначала по x, затем по y:

, − 0, = ∫ ,
				0		0,0 = ,
				0
,	− , 0	− 0,			+			. Учитывая начальные
							0 0
условия: ,		=	2		+	−	0 + ,
			2		1	1	0 0

Т.е. в случае простейшей задачи Гурса решение получено в явном аналитическом виде. Если рассмотреть уравнение в общем виде, т.е.

2
	= ,		+ ,		+ , + ,
	= ,		+ ,		+ , + ,
то интегрирование по x и y даст: , = 2 + 1						− 1 0 +

+ ( ,		+ ,		+ , + , )


0 0

т.е. для u получено интегро-диффренциальное уравнение, и для его решения можно

применить метод последовательных приближений. Если взять 0 = 0, то

= 2

+ 1

− 1

0 +

0 0

Ряды ,

сходятся равномерно, значит существует единственное решение

, +

−1

0 0

14. Метод Римана для решения обобщенной задачи Коши для гиперболического уравнения

Обобщенная задача Коши

+ ,

+ , = , (1)

= ,

2 ,

(2)

= ,

1[ , ] (3)

= ( )

Ω − область, ограниченная = 0, = 0, = Ω − граница = 0 0

Рассмотрим дифференциальные операторы:

+ ,

+ , ,

−

+ ,

Вышестоящие операторы сопряженные, то есть:

− = + , = 12 − + 2 ; = 12 − + 2

Значит, к этим операторам можно применить формулу Грина

∫Ω − = ∫Ω − + (4),

Рассмотрим правую часть:

	− + =	− + + +	− + +
Ω	0
Ω

+ ∫ 0 − + = 1 + 2 + 3,

Так как вдоль 0 меняется только x, то:


= −		1	∫	−	+ 2	= −	1	\|	+ ∫	−	,

1	2		0			2			0
								0

Интеграл 2 оставим без изменений. В 3

изменяется только y

3 =

− + =

−

+ 2

− 2

+ 2 ) =

( )| 0 −

−

Следовательно:

∫

− + = 1 + 2 + 3,

Сделаем так, чтобы:∫

−

= 0; и∫

−

= 0

Для этого необходимо:

− | = 0 = 0; − | = 0 = 0,

Положим	,		= 1. Тогда					, 0		= ,		, ;	, 0		= ,
Положим	,		= 1. Тогда							= ,		, ;			= ,
0		0									0	0	, 0		0
													, 0
ln		,		\|		=	∫ ,			\|	= 0	= exp (∫		, ),
		0			0		0		0		= 0		_0		0
Аналогично: \|		= 0		= exp (∫					, ).
		= 0					_0		0
Пусть b удовлетворяет = 0 имеем задачу для :
= 0; \| = 0 = exp (∫ 0							0, ) , \| = 0 = exp (∫ 0						, 0		) ; 0, 0 = 1,

Но это задача Гурса, а ее решение существует, причем единственное. Функция(решение задачи) – функция Римана. С помощью этой функции построим решение исходной задачи. В результате (4) имеем:

				= −							1	\|			+	1	\| 0
				= −								\|			+		\| 0
			Ω							2			0		2
										2					2

= −			1	\| +				1	0, 0				−	1	\| +			− +
= −			2	\| +					0, 0				−		\| +			− +
Ω			2		2								2
Ω
,	=	1		\|	+	1	\|			+		∫	− +						(5)
,	=			\|	+		\|			+		∫	− +						(5)
0 0	2				2													Ω
	2				2													Ω

(5) – Интегральная формула Римана.

В (5) используется значение на = ( ). Если нужно найти

, то используем то,

что ,

= ′

′

−

′

15. Постановка ЗК для уравнения теплопроводности

Процесс распространения тепла в тонком стержне, расположенном вдоль Ox, описывает уравнение = 2 2 2 , 2 = , k – коэффициент теплопроводности, c –

удельная теплоемкость, ρ – удельная плотность материала стержня, t – временная переменная, x – пространственная переменная, u(x, t) задает температуру в сечении стержня с координатой x в момент времени t

Уравнение в более общей постановке:

		2
	=			+	+ + , ,	(1)
	=		2	+	+ + , ,	(1)
=0 = , −∞ < < ∞,						(2)
		= , −∞ < < ∞,				(3)

	=0
	=0

(1) не является уравнением типа Ковалевской , значит нельзя утверждать о существовании и единственности решения (1-3).Т.к.(1) должно выполняться во всей области определения u, то рассмотрим его при t=0:

	=	2		+		+ =0 + ( , 0)
=0	=	2		+	=0	+ =0 + ( , 0)
=0		2			=0
			=0	= ′′		+ ′ +
С учетом (2-3):				= ′′		+ ′ +	+ ( , 0) (4) => для

однозначности разрешения (1-3) ( ) не может быть выбрана произвольно. Она должна удовлетворять (4)=>( 3) является лишним в корректной постановке ЗК для уравнения теплопроводности . ЗК для уравнения теплопроводности:

	=	2	+		+ + ,
		2
=0 = ,				− ∞ < < +∞

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.20164.18 Mб10Ovsyannikova_M_M_Ekonometrika.pdf
#
28.08.2019418.82 Кб8oxi-short.doc
#
28.09.201939.65 Кб1oznakom_praktika.docx
#
11.11.2019101.38 Кб0O_kommunisticheskoy_revolyutsii.doc
#
29.02.2016793.8 Кб18P1.pdf
#
29.02.20161.16 Mб3P2.pdf
#
29.02.2016865.14 Кб4P3.pdf
#
03.12.20184.6 Mб6paks.doc
#
01.03.20161.48 Mб54panchenko-monogr.pdf
#
09.11.201979.87 Кб3paper - Белорусская модель #.doc
#
09.11.2019237.57 Кб2paper Mngt (G.Mincberg) #.doc