3. Квазилинейные ДУсЧП-1

– непрер. и имеют

=1

( , )

= ( , )

(1)

Рассмотрим ур-ние вида:

0

непрер. ЧП-1 в

(

)

1, 2, …. В, , = 0

≠ 0

Решение (1) будем искать в виде неявной функции

(2),

которая имеет непрер. ЧП-1 по всем переменным:

частности

гарантирует представление решения исходного

уравнения (1) в явном виде.

,

Вычислим все производные U:

= 0

+

Отсюда

. Подставим это представление в(1):

= −

+ ,

= 0

(3)

1

2

Для

=1

-лин.однор.ур-е относит. U

этого уравнения составляем систему ОДУ вида

1

2

в

(1)

,

(2)

, … ,

( )

=

.

представляем

Находим

независимых первых интегралов (4):

= и= (4)

1

2

1

,

2

, … ,

=

( 1

, … , , )

, где

ОР (1)

виде

= 0

,

, … ,

отсюда находим решение исходного уравнения в явном

Рассм.

вспомог.ф-ций

1

1, . . ,

, 2 1, . . ,

, … ,

1, . . ,

Рассм.

независ. ф-ций:

… ,

1 1, . . , , 1, . . , 1 , 2 1, . . , , 1, . . , 2 ,

zi

1, . . , , 1, . . ,

, имеющие непрер.производные по переменным

Тогда системой ДУ с ЧП называется система вида

1

, 1, … , ,

1

, … ,

1

= 0

1

1

2

, 1, … , ,

1

, … ,

2

= 0

1

2

… … … … … … … … … … … …

… … … …

, 1, … , ,

1

, … ,

= 0

1

Расмотрим систему 1-ого порядка

относительно 2-х независ. ф-ций с 2-умя

независ.перем.: , , ( , ):

11

+ 12

+ 11

+ 12

+ 1 + 1 = 1( , )

Или в

21

22

21

22

2

2

2

+

+

+

+ + = ( , )

матричном виде

= ( , )

, где

=

11

+ 12

+ 1

11

+ 12

+ 1

,

=

,

=

1

21

+ 22

+ 2

21

+ 22

+ 2

2

0 =

11

+ 12

11

+ 12

Выделим главную часть:

21

+

22

21

+

22

→ 1;

→ 2

Рассмотрим2

(1):

2

2

2

,

2

+ ,

+ = ( , )

Коэффициенты

. Проведѐм замену

11

,

+ 2 12

+ 22

,

+ ,

2

ξ φ

η

ψ

φ ψ

ψ ψ

считаем производные от

( )

2

u=u(ξ

x, y , η

=

) x, y , , ( )

x

y ≠ 0

=

ξ

η

,

ξ

η

ξ

η

ξ

η

x, y ,

(x, y)

η

η

= x +ξ x

= ξ

η

y + y

2

ξ

2

ξ

η

2

2

2ξ

2

ξ2

η

2η

2

2

=

ξ

ξ

η

+

2

η

+ x

2ξ

+ x

2η

x

2

+ 2 x x

2η

x

2

2ξ

ξ2

η

2

ξ

2

η

2

=

2

ξ

ξ

+ 2

ξ

η

+

ξ η

+

η

η

+

ξ

η

2

2

y

y

y

2

y

2

y2

y2

2

2

2

2

ξ

ξ η

η

ξ

η

2

+

2

x y + x y + x y

Подставив в (1) получаем

x y

=

x y

+

x y + y x

2

2

2

+

+ =

(2)

ξ

η

ξ

ξ

η

η