15)

lim

x

2

1

;

18)

lim

2x 1 1

;

x

2

7x

4 16x4 1

x

x

16)

lim

4 x2 x

;

19)

lim

x 3 2

;

x 1

x

2

x

2

x

x

x 1

3

3

2

lim

lim

2x

2x

3x 3

17)

;

20)

.

2x

3

3x 1

x

3

x

2

x 1

x

x 1

Первым замечательным пределом называется

lim sin x

1.

x 0

x

x

Вторым

замечательным пределом

называется

1

e

или

lim 1

x

x

1

e 2,7 . Функция x называется бесконечно малой

lim 1 x x e , где

x 0

f x называ-

величиной (б. м. в.) при x x0 , если lim x 0 . Функция

x x0

x x0 ,

ется бесконечно

большой

величиной

(б. б. в.)

при

если

lim f x .

x x0

Между бесконечно малыми величинами и бесконечно большими ве-

личинами существует следующая связь: если функция x

есть беско-

нечно малая величина при x x (или x ) , то

f x

1

есть бес-

x

0

конечно большая величина; обратно, если функция

f x есть бесконечно

большая величина при x x

(или x ), то функция

x

1

есть

0

f

x

бесконечно малая величина.

Сравниваем бесконечно малые величины.

Пусть

x

и x – бесконечно малая величинапри x x0 , тогда:

1) если

lim

x

0 , то x называется бесконечно малой более

x x0

x

2)

если lim

x

C 0 , то x и x

называются бесконечно

x x0

x

малыми величинами одного и того же порядка;

3)

если lim

x

, то x называется бесконечно малой вели-

x x0

x

чиной низшего порядка по сравнению с x ;

4)

если lim

x

1, то x и x называются эквивалентными

x x0

x

бесконечно малыми величинами и обозначаются x

~ x .

Основные эквивалентности (при x 0 ):

1)

sin α(x) ~ α(x);

6) ln(1 + α(х)) ~ α(х);

2)

tg α(x) ~ α(x);

7) aα(x) – 1 ~ α(х)· ln α;

3)

arcsin α(x) ~ α(x);

8) (1 + α(х)n) – 1 ~ nα(х);

4)

arctg α(x) ~ α(x);

9) 1 – cos α(x) ~

( (х))2

2

.

Пример 1 – Найти

lim

sin 3x

.

x 0 sin 5x

Решение

sin 3x

0

sin 3x

3x

lim sin 3x

3

3

3x

x 0

3x

lim

lim

.

sin 5x

0

sin 5x

sin 5x

5

x 0

x 0

5x

lim

5

5x

5x

x 0

Здесь применен первый замечательный предел.

Пример 2 – Найти

lim

1 cos 4x .

x 0

2x tg 2x

Решение

lim

1 cos 4x

0

2sin 2 2x cos 2x

2lim

sin 2x

lim cos 2x 2 1 1 2 .

2x tg 2x

lim

2x sin 2x

2x

x 0

0

x 0

x 0

x 0

18

x

5 sin

1

Пример 3 – Найти

lim

.

x

x

5

Решение

1

1

sin

5

lim

x 5 sin

0 lim

x

1.

x

1

x

5

x

x 5

Пример 4 – Найти lim

2 x 1

7 x

.

2 x 5

x

Решение

2 x 1 7 x

1

2 x 1

7 x

4

7 x

lim

lim

1

1

lim

1

2 x 5

2 x 5

2 x

5

x

x

x

4 7 x

4

2 x 5

2 x 5

28 x

28 x

4

lim

14

1

lim e 2 x 5

e x

2 x 5

e

.

2 x

5

x

Здесь применили второй замечательный предел.

Пример 5 – Доказать, что порядок функции

x3

выше, чем порядок

3

x

функции x 2

при x 0 .

Решение

x3

x3

x

lim

3 x

lim

lim

0

,

x2

x 0

x 0 x2 3 x

x 0 3 x

т. е. функция

x3

есть бесконечно малая величина более высокого по-

3

x

рядка, чем х2.

Пример 6 – С помощью замены эквивалентных бесконечно малых

величин найти пределы:

а) lim

ln 1 3 x

;

в)

lim

ln ln x

;

д)

lim sin 2 x .

sin 5 x

2 x 2e

x

0

x e

x

sin 5 x

б)

lim

ln cos x

;

г)

lim arctg 7 x

;

x 0

4 1 x2 1

x 0

e 2 x 1

а) lim

ln 1 3 x

0

ln 1 3 x ~ 3 x

3 x

3

lim

;

sin 5 x

0

5 x

5

x 0

sin 5 x ~ 5 x

x 0

ln cos

x

0

ln 1 cos x 1

б) lim

lim

x

2

4 1 x 2

1

x 0

0

x

0

4

4lim

ln 1

cos x 1

ln 1 cos x 1 ~ cos x 1

x

2

x 0

x2

4lim1 cos x

1 cos x ~

x2

4lim

4 1 2 ;

2

x

2

x 0 x

2

2

x 0

2

lim

ln ln x

0

lim

ln 1 ln x 1

в)

2 x 2e

2 x

e

x e

0

x e

ln 1 ln x 1 ln x 1 lim ln x ln e lim

ln

x

e

2 x e

x e

2 x e

x e

x

x

ln 1

1

1

x e

1

lim

e

lim

e

lim

;

2

x e

x e

2e(x e)

2e

x e

x e 2

x e

г)

lim

arctg 7 x

arctg 7 x ~

7 x

lim

7 x

7

;

e

2 x

1

2

x 0

e 2 x

1 ~ 2 x