Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

10-pr_vvedenie_v_matematicheskij_analiz.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

518.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2n 1 1 n

9) lim

;

11)

lim

;

n n 2

2n 3

10)

lim

2n3 3n 1

lim

5n 3 2n

;

12)

3 8n

3 4n 7

n 1

2.3.2 Доказать, что lim

2n 1

n 3

2.4

Домашнее задание

2.4.1 Вычислить пределы: 1) limn 2n2 3n5 ;

2)	lim			n3 n				;
		3n	4		3n	2	1
	n

3) lim 3n 5 4n 3 ; n 3n 1

2.4.2 Доказать, что lim 1 3n2

n 2 6n2

4)	lim	n	2 1 n	;
		4 n3	n 1 n
	n


5)	lim	n4		5n	;
5)	lim	2	3n 1		;
	n n		3n 1

n 1 ! n 3 !

6)limn 2n2 n 3 ! n 2 ! .

12 .

3 Предел функции в бесконечности и точке. Вычисление пределов

3.1 Теоретическая часть

Предел функции в бесконечности тесно связан с пределом числовой последовательности.

Число A называется пределом функции y f (x) при x , если

для любого сколь угодно малого положительного числа 0 найдется такое положительное число s 0 , зависящее от , что для всех x , таких,

что x , верно неравенство f (x) A .

С помощью логических символов имеем

A lim f (x) 0 s s( ) 0 x : x s f (x) A .

Выясним геометрический смысл определения (рисунок 2).

Рисунок 2

Для любого 0 найдется такое число s 0 , что для x s соответствующие ординаты графика функции y f (x) будут заключены в полосе A y A , какой бы узкой она ни была.

Пусть функция y f (x) задана в некоторой окрестности точки x0 , кроме, может быть, самой точки.

Число A называется пределом функции y f (x) при x x0 , если для любого сколь угодно малого 0 найдется такое положительное0 , зависящее от , что для всех x x0 и удовлетворяющих условию

x x0

выполняется условие

f (x) A

Запишем это определение с помощью кванторов:

f (x) A .

A lim f (x) 0 ( ) 0 x x0 : x x0

x x0

Рассмотрим геометрический смысл определения (рисунок 3).

Рисунок 3

Для 0 найдется такая -окрестность точки x0 , что для всех x x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика y f (x) будут заключены в полосе A y A , какой бы узкой она ни была.

Если существуют пределы вида	lim f (x) f (x0 0)	или
	x x0 0

lim f (x) f (x0	0) , то они называются односторонними пределами в точ-
x x0 0

ке x0 (предел слева и предел справа).

Для вычисления пределов функции применяют основные теоремы о пределах:

lim C C

, где C

– постоянная;

x x

lim C f (x) C lim f (x);

x x

lim f (x) (x) lim f x lim (x)

;

x x

lim

f (x) (x) lim f x

lim (x)

;

x x

f x

lim f (x)

lim x 0 ;

lim

x x0

, если

lim (x)

x x0

(x)

x x0

( x)

lim

f (x)

lim x

lim

x x0

f (x)

x x

3.2 Образцы решения примеров

Пример 1 – Доказать, что

lim(2x 3) 5.

x 1

Решение

2x 3 5

Пусть 0,1, тогда

0,1;

2x 2

0,1; ;

x 1

0,05 .

Пусть 0,01 , тогда

x 1

0,005 .

Для любого

x 1

т. е. .

Итак, для 0

такое, что если выполняется неравенство

x 1

f x 5

, то верно и неравенство

Пример 2 – Найти lim

x2 5x 6

x 2

Решение

Имеем неопределенность вида 00 . Разложим числитель и знаменатель на множители:

lim	(x 2)(x 3)	lim	x 3	2 3	1 .
	x(x 2)		x	2
x 2		x 2			2

Пример 3 – Найти lim	x 2 6 x				.
Пример 3 – Найти lim	x	2	4		.
x 2	x		4
Решение				0
Для раскрытия неопределенности				0		умножим числитель и знаме-
Для раскрытия неопределенности				0		умножим числитель и знаме-
				0

натель на выражение, сопряженное числителю:

lim

x 2

6 x

x 2

6 x lim

2 x 2

(x 2)(x 2)(

x 2

6 x )

x 2

6 x)

x 2 (x 2)(x 2)(

lim

1 .

(x 2) x

6 x

4 2

x 2

Пример 4 – Найти

lim

x2 x 1

Решение

Пусть

x2 x 1

1 x

A lim

lim

2x 1

т. к.

Если x , то

x .

Полагая, что x 0 , тогда

x 1

1 1

A lim

2 0

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
29.02.2016410.78 Кб1810-iz_02_vvedenie.v.matematicheskij.analiz.pdf
#
29.02.2016456.12 Кб2210-pr_opred_matrix_slau.pdf
#
29.02.2016518.7 Кб11510-pr_vvedenie_v_matematicheskij_analiz.pdf
#
29.02.2016610.16 Кб19Metodichka_po_vyshke_1_ch.pdf
#
29.02.2016736.65 Кб23Metoditchka_Vyshka_ch2.pdf