Metoditchka_Vyshka_ch2
.pdf
Министерство образования Республики Беларусь
Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 2
Краткий конспект лекций для студентов специальности 1-53 01 02
«Автоматизированные системы обработки информации» заочной формы обучения
Могилев 2008
2
Составитель В. Г. Замураев
Вторая часть включает разделы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальные уравнения», «Кратные интегралы» и «Векторный анализ», изучаемые студентами во втором семестре.
В основу конспекта положены краткие теоретические сведения, которыми снабжены соответствующие разделы сборников задач [6,7].
© ГУВПО «Белорусско-Российский университет», 2008
3
Содержание
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§19. Основные понятия …………………………………………………... 4
§20. Дифференцирование сложных и неявных функций ………………. 8
§21. Приложения частных производных ………………………………... 10
Интегральное исчисление функций одной переменной
§22. Основные методы вычисления неопределённого интеграла ……... 14
§23. Интегрирование основных классов элементарных функций …….. 17
§24. Определённый интеграл и методы его вычисления ………………. 23
§25. Несобственные интегралы ………………………………………….. 26
§26. Геометрические приложения определённого интеграла …………. 28
§27. Приложения определённого интеграла к решению некоторых за-
дач механики и физики …………………………………………………………... 31
Дифференциальные уравнения
§28. Уравнения 1-го порядка ……………………………………………. 32
§29. Дифференциальные уравнения высших порядков ………………... 42
§30. Системы дифференциальных уравнений ………………………….. 49
Кратные интегралы
§31. Двойной интеграл …………………………………………………… 56
§32. Тройной интеграл …………………………………………………… 61
§33. Несобственные кратные интегралы ………………………………... 63
§34. Вычисление интегралов, зависящих от параметра ………………... 64
Векторный анализ
§35. Скалярные и векторные поля. Градиент …………………………… 67
§36. Криволинейные и поверхностные интегралы ……………………... 68
§37. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей ………………………………………………………………..... 74
§38. Специальные виды векторных полей ……………………………… 77
Список литературы ………………………………………………………... 79
4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§ 19. Основные понятия
1. Понятие функции нескольких переменных. Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел x1 , x2 , …, xn обозначается (x1, x2 ,..., xn ) или
P(x1, x2 ,..., xn ) и называется точкой n -мерного арифметического пространства
\n , числа x1 , x2 , …, xn называются координатами точки P(x1, x2 ,..., xn ). Рас- |
|||
стояние между точками P(x , x ,..., x |
) и P′(x′, x′ |
,..., x′ ) определяется формулой |
|
1 2 |
n |
1 2 |
n |
ρ(P, P′)= |
(x1 − x1′)2 +... +(xn − xn′ )2 . |
||
Пусть D \n – произвольное множество точек n -мерного арифметического пространства. если каждой точке P(x1, x2 ,..., xn ) D поставлено в соответ-
ствие |
некоторое |
вполне |
|
определённое |
действительное |
число |
f (P) = f (x1,..., xn ), то говорят, |
что на множестве |
D задана числовая функция |
||||
f : \n → \ от n переменных x1 , |
x2 , …, xn . Множество D называется областью |
|||||
определения, а множество E ={u \ u = f (P), P D} – областью значений функции u = f (P).
В частном случае n = 2 функция двух переменных z = f (x, y) может рас-
сматриваться как функция точек плоскости в трехмерном геометрическом пространстве с фиксированной системой координат Oxyz . Графиком этой функции
называется множество точек
{ |
|
} |
|
|
|
Γ = (x, y, z) \3 |
z = f (x, y) , |
|
|
||
представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в \3 . |
|||||
2. Предел и непрерывность функции. Число |
|
A называется пределом |
|||
функции u = f (P) при стремлении точки P(x1, x2 ,..., xn ) к точке P0 |
(a1,a2 ,...,an ), |
||||
если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что из условия |
|
||||
0 < ρ(P, P )= |
(x − a )2 |
+... +(x −a |
n |
)2 <δ |
|
0 |
1 1 |
n |
|
|
|
следует
f (x1,..., xn )− A <ε .
При этом пишут
|
5 |
A = lim |
f (P) = lim f (x1, x2 ,..., xn ). |
P→P0 |
x1→a1 |
|
x2 →a2 |
|
......... |
|
xn →an |
Функция u = f (P) называется непрерывной в точке P0 , если выполнены следующие три условия:
1) функция f (P)определена в точке P0 ;
2) существует lim f (P);
P→P0
3) lim f (P) = f (P0 ).
P→P0
Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если в точке P0 хотя бы одно из условий 1) – 3) нару-
шено, то P0 называется точкой разрыва функции f (P). Точки разрыва могут
быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.
3. Частные производные. Пусть (x1, x2 ,..., xk ,..., xn ) – произвольная точка из области определения функции u = f (x1,..., xn ) придавая значению перемен-
ной xk ( k =1,2,...,n ) приращение |
xk , рассмотрим предел |
||
lim |
f (x1,..., xk + |
xk ,..., xn )− f (x1,..., xk ,..., xn ) |
. |
|
|
||
xk →0 |
xk |
||
|
|
||
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной функции
по переменной xk в точке (x1,..., xn ) и обозначается |
∂u |
или fx′ (x1,..., xn ). |
|
||
|
∂xk |
|
|
|
k |
Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме xk , рассматриваются как
постоянные).
Частными производными 2-го порядка функции u = f (x1,..., xn ) называ-
ются частные производные от её частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:
|
|
∂ |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
∂ |
= fx′′x |
(x1, x2 ,..., xk ,..., |
||||||||
|
∂x |
|
∂x |
∂x2 |
|||||||||||||
|
k |
|
|
k |
k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
||||||
∂ |
|
|
∂u |
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
∂ |
|
|
|
= fx′′x |
(x1, x2 ,..., xk ,...xl |
||||||
|
|
|
|
|
∂xk |
∂xl |
|||||||||||
∂xl ∂xk |
|
k l |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn ),
,..., xn )
и т. д.
6
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше второго.
Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очерёдности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны.
4. Дифференциал функции и его применение. Полным приращением
функции u = f (x1, x2 ,..., xn ) в точке P(x1, x2 ,..., xn ), соответствующим приращениям аргументов x1 , x2 , …, xn , называется разность
u = f (x1 + x1, x2 + x2 ,..., xn + xn )− f (x1,..., xk ,..., xn ).
Функция u = f (P) называется дифференцируемой в точке (x1, x2 ,..., xn ), если
всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может
быть представлено в виде
|
u = A1 |
x1 + A2 x2 +... + An |
xn + o(ρ), |
|
|
|||
где ρ = x2 |
+ x2 +... + |
x2 , |
A , A , …, |
A – числа, не зависящие от |
x , |
x , |
||
1 |
2 |
n |
1 2 |
n |
|
|
1 |
2 |
…, xn . |
|
|
|
|
|
u = f (x1, x2 ,..., xn ) |
|
|
Дифференциалом |
du 1-го порядка функции |
в точке |
||||||
(x1, x2 ,..., xn ) |
называется главная часть полного приращения этой функции в |
|||||||
рассматриваемой точке, линейная относительно |
x1 , |
x2 , …, xn , т. е. |
|
|
||||
du = A1 x1 + A2 x2 +... + An xn .
Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:
dx1 = x1 , dx2 = x2 , …, dxn = xn .
Для дифференциала функции u = f (x1, x2 ,..., xn ) справедлива формула
du = |
∂u |
dx + |
∂u |
dx |
+... + |
∂u |
dx . |
(1) |
|
∂x |
∂x |
∂x |
|||||||
|
1 |
2 |
|
n |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
Функции u , v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:
d (u + v)= du + dv ,
7
d (uv) = vdu +udv ,
u |
= |
vdu −udv |
. |
|
|
|||
d |
|
v |
2 |
|
|
|
||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
При достаточно малом ρ = |
x2 + |
x2 |
+... + x2 для дифференцируемой |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
функции u = f (x1, x2 ,..., xn ) имеют место приближённые равенства |
|
|
||||||
u ≈ du , |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1 + x1, x2 + x2 ,..., xn + xn )≈ f (x1,..., xk ,..., xn )+ df (x1,..., xk ,..., xn ). |
||||||||
Дифференциалом 2-го порядка d 2u |
функции u = f (x , x ,..., x |
) называет- |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
ся дифференциал от её дифференциала первого порядка, рассматриваемого как функция переменных x1 , x2 , …, xn при фиксированных значениях dx1 , dx2 , …,
dxn :
d 2u = d (du).
Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:
d 3u = d (d 2u).
Вообще,
d mu = d (d m−1u).
Дифференциал m -го порядка функции u = f (x1, x2 ,..., xn ), где x1 , |
x2 , …, xn – |
|||||||
независимые переменные, выражается символической формулой |
|
|||||||
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
m |
|
|
d mu = |
dx1 + |
dx2 +... + |
dxn u , |
(2) |
||||
|
|
∂xn |
||||||
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
||||
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Например, в случае функции z = f (x, y) двух независимых переменных x и y для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы
d 2 z = ∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 ,
∂x2 ∂x∂y ∂y2
8
|
3 |
|
∂3 z |
|
3 |
|
∂3 z |
2 |
|
∂3 z |
|
2 |
|
∂3 z |
|
3 |
|
d |
|
z = |
|
dx |
|
+3 |
|
dx |
dy +3 |
|
dxdy |
|
+ |
|
dy |
|
. |
|
∂x3 |
|
∂x2∂y |
∂x∂y2 |
|
∂y3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 20. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.
Если u = f (x1, x2 ,..., xn ) – дифференцируемая функция переменных x1 , x2 , …, xn , которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t :
x1 =ϕ1 (t ), x2 =ϕ2 (t ), …, xn =ϕn (t ),
то производная сложной функции u = f (ϕ1 (t ),ϕ2 (t ),...,ϕn (t )) вычисляется по формуле
du |
= |
∂u |
dx1 |
+ |
∂u |
dx2 |
+... + |
∂u |
|
dxn |
. |
dt |
∂x |
∂x |
∂x |
|
|||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
В частности, если t совпадает, например, с переменной x1 , то «полная» производная функции u по x1 равна
|
|
|
|
du |
= |
∂u |
|
+ |
|
∂u |
dx2 + |
... + |
∂u |
|
dxn |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
dx |
|
|
∂x |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
Пусть u = f (x1, x2 ,..., xn ), |
|
|
где |
|
|
|
x1 =ϕ1 (t1,t2 ,...,tm ), x2 =ϕ2 (t1,t2 ,...,tm ), …, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
xn =ϕn (t1,t2 ,...,tm ) (t1 , t2 , …, tm |
|
|
– независимые переменные). Частные производ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ные функции u по t1 , t2 , …, tm выражаются следующим образом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂u |
= |
|
∂u |
|
|
|
∂x1 |
+ |
|
∂u |
|
|
∂x2 |
+... + |
|
∂u |
|
|
|
∂xn |
, |
|||||||||||||||||
|
|
∂t |
|
∂x |
∂x |
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
∂u |
= |
|
∂u |
|
|
|
|
∂x1 |
+ |
|
∂u |
|
|
∂x2 |
+... + |
|
∂u |
|
|
|
∂xn |
, |
||||||||||||||||
|
|
∂t |
|
|
∂x |
|
∂x |
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
|
|
∂t |
2 |
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
………………………………………. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂u |
|
= |
|
∂u |
|
|
|
|
∂x1 |
|
+ |
|
|
∂u |
|
∂x2 |
+... + |
|
∂u |
|
|
∂xn . |
||||||||||||||||
|
∂t |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
m |
|
|
|
|
∂t |
m |
|
|
|
|
|
|
∂t |
m |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
9
При этом выражение (1) для дифференциала первого порядка сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифференциала)
du = |
∂u |
dx + |
∂u |
dx |
+... + |
∂u |
dx . |
|
∂x |
∂x |
∂x |
||||||
|
1 |
2 |
|
n |
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида (2).
2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение f (x, y)= 0 , где f – дифференцируемая функция переменных x и y , определяет y как функцию x . Первая производная этой неявной функ-
ции y = y(x) в точке x0 |
выражается по формуле |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x=x = − |
fx′(x0 , y0 ) |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
fy′(x0 , y0 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
при условии, что f ′ |
(x , y |
)≠ 0 , где y |
= y(x ), f |
(x , y |
0 |
)= 0 . |
|||||||||||
|
y |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|||||||||
Производные высших порядков вычисляются непосредственным диффе- |
|||||||||||||||||
ренцированием формулы (3). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть уравнение F |
(x1, x2 ,..., xn ,u)= 0 , где F – |
дифференцируемая функ- |
|||||||||||||||
ция переменных x1 , |
x2 , …, xn , u , определяет u как функцию независимых пе- |
||||||||||||||||
ременных x1 , x2 , |
…, |
|
xn . Частные производные |
|
этой неявной функции |
||||||||||||
u = u(x1, x2 ,..., xn ) в точке M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ) вычисляются по формулам |
|||||||||||||||||
|
∂u |
|
M =M 0 |
= − |
Fx′k (x10 , x20 ,..., xn0 ,u0 ) |
|
( k =1,2,..,n ) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂xk |
|
|
Fu′(x10 , x20 ,..., xn0 ,u0 ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при условии, что Fu′(x10 , x20 ,..., xn0 ,u0 )≠ 0 , где u0 = u (M 0 ) и F (M 0 ,u0 )= 0 . Можно также найти частные производные функции u следующим обра-
зом: вычисляем полный дифференциал функции F (x1, x2 ,..., xn ,u), приравниваем его нулю:
∂F dx + |
∂F |
dx |
+... + |
∂F |
dx |
+ |
∂F du = 0 |
||
∂x |
∂x |
||||||||
∂x |
1 |
2 |
|
n |
|
∂u |
|||
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
и выражаем отсюда du .
10
§ 21. Приложения частных производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Формула Тейлора. Если функция |
f (P) |
дифференцируема m +1 раз в |
|||||||||||||||||
некоторой окрестности U (P0 ) |
|
точки P0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), |
то |
для всякой |
точки |
||||||||||||||
P(x1, x2 ,..., xn ) U (P0 ) |
справедлива формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (P)= f (P )+ |
df (P , |
x ,..., |
x ) |
|
d 2 f (P , |
x ,..., |
x |
) |
|
|
d m f (P , |
x ,..., |
x |
) |
|
||||
0 |
1 |
|
n |
|
+ |
|
0 |
1 |
n |
|
+... |
+ |
|
0 |
1 |
n |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
1! |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d |
m+1 |
f |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
(P, x1,..., xn ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(m +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, …, |
|
|
0 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x1 = x1 − x1 |
xn = xn − xn |
|
, а P – некоторая точка указанной окрестности. |
||||||||||||||||
Последнее слагаемое в формуле (4) (остаточный член) можно записать в |
|||||||||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0(ρm ), где ρ = |
|
(x1 − x10 )2 +... +(xn − xn0 )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(форма Пеано). |
|
x0 |
= x0 |
=... = x0 |
= 0 , формула (4) называется фор- |
||||||||||||||
В частном случае, при |
|||||||||||||||||||
мулой Маклорена. |
|
1 |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Экстремум функции. Функция u = f (P) |
имеет максимум (минимум) в |
||||||||||||||||||
точке P0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), если существует такая окрестность точки P0 , для всех точек P(x1, x2 ,..., xn ) которой, отличных от точки P0 , выполняется неравенство f (P0 )> f (P) (соответственно f (P0 )< f (P)). Максимум или минимум функции называется её экстремумом.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая |
||||
функция f |
(P) достигает экстремума в точке P0 , то в этой точке |
|||
|
f ′ |
(P )= 0 для всех k =1,2,..,n , |
(5) |
|
|
x |
0 |
|
|
|
k |
|
|
|
или df (P0 , |
x1,..., xn ) = 0 тождественно относительно |
x1 , …, |
xn . |
|
Точки, в которых выполняются условия (5), называются стационарными |
||||
точками функции u = f (P). Таким образом, если P0 |
– точка экстремума функ- |
|||
ции u = f (P), то либо P0 – стационарная точка, либо в этой точке функция недифференцируема.