Metoditchka_Vyshka_ch2

63

Масса M тела с переменной плотностью γ (x, y, z), занимающего область

T :

M = ∫∫∫γ (x, y, z)dxdydz .

T

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

M yz = ∫∫∫xγ (x, y, z)dxdydz ,

T

M zx = ∫∫∫yγ (x, y, z)dxdydz ,

T

M xy = ∫∫∫zγ (x, y, z)dxdydz .

T

Координаты центра масс тела:

x = MMyz , y = MMzx , z = MMxy .

Моменты инерции тела относительно осей координат:

Ix = ∫∫∫(y2 + z2 )γ (x, y, z)dxdydz ,

T

Iy = ∫∫∫(z2 + x2 )γ (x, y, z)dxdydz ,

T

Iz = ∫∫∫(x2 + y2 )γ (x, y, z)dxdydz .

T

§ 33. Несобственные кратные интегралы

1.Интеграл по бесконечной области. Если функция f (x, y) непрерывна

вбесконечной области G , то, по определению,

64

где D – конечная область, целиком лежащая в области G , причём D →G означает, что область D расширяется произвольным образом так, чтобы в неё вошла и осталась в ней любая точка области G (исчерпывающее расширение). Если существует конечный предел (7), не зависящий от выбора подобласти D и

способа расширения D →G , то несобственный интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy назы-

G

вается сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется тройной интеграл по бесконечной области. Если f (x, y)≥ 0 , то для сходимости несобственного интеграла необходи-

не существует или равен ∞, то ∫∫ f (x, y)dxdy называется расходящимся. Ана-

G

логично определяется тройной интеграл от разрывной функции.

§ 34. Вычисление интегралов, зависящих от параметра

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Если функция f (x, y) определена и непрерывна в прямоугольнике a ≤ x ≤ b , A ≤ y ≤ B , то ин-

теграл

называется интегралом, зависящим от параметра, и является непрерывной в промежутке [A, B] функцией.

Интеграл более общего вида

ψ (y)

F (y)= ∫ f (x, y)dx (10)

ϕ(y)

также называется интегралом, зависящим от параметра, и является непрерывной функцией аргумента y в промежутке [A, B], если f (x, y) непрерывна в

прямоугольнике a ≤ x ≤ b , A ≤ y ≤ B , ϕ(y) и ψ (y) непрерывны при y [A, B] и их значения содержатся в промежутке [a,b].

Если f (x, y) и fy′(x, y) непрерывны в прямоугольнике a ≤ x ≤ b ,

A ≤ y ≤ B , то для интеграла (9) справедлива формула дифференцирования под знаком интеграла (формула Лейбница):

ψ (y) дифференцируемы при y (A, B), то верна формула:

∫B F (y)dy = ∫B dy∫b f (x, y)dx =∫b dx∫B f (x, y)dy .

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобствен-

ный интеграл, зависящий от параметра y , т. е.

где функция f (x, y) непрерывна в области a ≤ x < +∞, y1 ≤ y ≤ y2 , называется равномерно сходящимся в промежутке [y1, y2 ], если для любого ε > 0 существует такое B = B(ε ), что при всяком b ≥ B(ε )

+∞∫ f (x, y)dx <ε

b

при любом y [y1, y2 ].

Если интеграл (12) сходится равномерно в промежутке [y1, y2 ], то он представляет непрерывную функцию y в этом промежутке.

Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра.

При исследовании равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра, чаксто используется следующее утверждение:

Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости интеграла (12) достаточно, чтобы существовала такая функция F (x), не зависящая от

параметра y , что:

а) f (x, y) ≤ F (x), если a ≤ x < +∞,

б) +∞∫ F (x)dx < +∞.

a

Функция F (x) называется мажорантой для f (x, y).

Для несобственых интегралов с бесконечным пределом, зависящих от параметра, при выполнении следующих условий:

а) функция f (x, y) непрерывна вместе со своей производной fy′(x, y) в области a ≤ x < +∞, y1 ≤ y ≤ y2 ,

справедлива формула дифференцирования по параметру (формула Лейб-

ница):

67

аналогичная соотношению (11).

При выполнении соответствующих условий формула Лейбница остаётся верной и для интеграла от разрывной функции, зависящего от параметра.

Векторный анализ

§ 35. Скалярные и векторные поля. Градиент

1. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей.

Пусть D – область в пространстве двух, трёх или n измерений. Говорят, что в области D задано скалярное поле, если в D задана скалярная функция точки u (P) = u(x1, x2 ,..., xn ) = u(r), называемая функцией поля (r – радиус-вектор точ-

ки P(x1, x2 ,..., xn )). Если каждой точке P D поставлен в соответствие вектор a(P) = a(r), то говорят, что в области D задано векторное поле, определяемое

векторной функцией a(P) = a(x1, x2 ,..., xn ) = a(r).

Простейшими геометрическими характеристиками скалярных полей являются линии уровня u (x, y) = C в пространстве двух измерений, поверхности

уровня, или эквипотенциальные поверхности, u (x, y, z) = C в пространстве трёх измерений и гиперповерхности уровня u (x1, x2 ,..., xn )= C в пространстве n > 3

измерений. Простейшими геометрическими характеристиками векторных полей являются векторные линии и векторные трубки. Векторной линией называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля. Векторные линии для векторного поля

a = axi + ay j + azk

определяются системой дифференциальных уравнений

(аналогично для плоских и многомерных полей). Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (даже частично)

скакой-либо векторной линией.

2.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть

s = cosα i + cos β j + cosγ k – единичный вектор данного направления s , r0 = x0i + y0 j + z0k – радиус-вектор точки P0 (x0 , y0 , z0 ). Производная скалярного

68

поля u (P) в точке P0 по направлению s , обозначаемая через ∂∂us , определяется соотношением

Градиентом скалярного поля u(P), обозначаемым символом grad u , на-

зывается вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные функции u (P), т. е.

grad u = ∂∂ux i + ∂∂uy j + ∂∂uz k .

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для n - мерных скалярных полей.

Производная поля по направлению s равна скалярному произведению градиента поля на единичный вектор данного направления, т. е. равна проекции градиента на данное направление

∂∂us = (grad u,s)= grad u cosϕ ,

где ϕ – угол между градиентом и вектором s .

§ 36. Криволинейные и поверхностные интегралы

p

1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть AB – дуга кусочно-

70

бора точек Pν на этих частичных поверхностях, то этот предел называется по-

верхностным интегралом 1-го рода от функции u (P) по поверхности G и обо-

значается через

∫∫u(P)dσ = ∫∫u(x, y, z)dσ

G G

( dσ – дифференциал площади поверхности), т. е.

Если u (P) непрерывна на G , то интеграл (2) существует. Вычисление интегра-

ла (2) сводится к вычислению обычного двойного интеграла. Допустим, что прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность G лишь в одной точке, т. е. уравнение поверхности имеет вид z = f (x, y), и пусть G проектируется на

Если прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность G в двух или более точках, то G разбивается на части, каждая из которых пересекается с прямой, параллельной оси Oz , лишь в одной точке. Интегрирование следует выполнять по каждой из полученных частей.

Вместо плоскости Oxy поверхность можно проектировать на плоскости

Oxz или Oyz .

Для двусторонних поверхностей поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от того, по какой стороне поверхности он берётся. Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода зависит от физического характера данного скалярного поля: он может определять массу, распределённую по данной поверхности, электрический заряд и т. д.