Metoditchka_Vyshka_ch2

51

y(n) = f (x, y, y′,..., y(n−1) )

можно свести к нормальной системе (31). Обратно, системы (30) или (31) в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению n -го порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы.

Задача Коши для системы (31) ставится следующим образом: найти решение y1 (x), …, yn (x) системы (31), удовлетворяющее начальным условиям

менным y1 , …, yn , то существует интервал x0 − h < x < x0 + h изменения пере-

менной x , в котором существует и притом единственное решение системы (31), удовлетворяющее начальным условиям (32).

Общим решением системы (31) называется совокупность функций

зависящих от n произвольных постоянных, которые при любых допустимых значениях постоянных C1 , …, Cn обращают уравнения системы (31) в тождест-

ва, и в области, в которой выполнены условия теоремы Коши, из совокупности функций (33) можно получить решение любой задачи Коши.

2. Методы интегрирования нормальных систем. Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом.

Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению.

Другим методом интегрирования систем дифференциальных уравнений является метод выделения интегрируемых комбинаций, т. е. получения из системы (31) такого уравнения, которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы. Если найдены n независимых первых интегралов системы (31), то их совокупность даёт общий интеграл этой системы.

Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (31) последнюю удобнее записать в так называемой симметрической форме:

и использовать следующее свойство равных дробей: если

то при любых α1 , …. αn имеет место соотношение

Числа α1 , …. αn подбираются обычно таким образом, чтобы числитель в (35)

был полным дифференциалом знаменателя или же знаменатель был равен нулю.

В соотношении (35) независимая переменная и искомые функции равноправны.

3. Физический смысл нормальной системы. Для простоты ограничимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений, причём будем считать, что независимая переменная t есть время:

x = f1 (t, x, y), (36) y = f2 (t, x, y).

Решение x =ϕ(t ), y =ψ (t ) этой системы есть некоторая кривая в плоскости Oxy с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат. Плоскость Oxy называется фазовой плоскостью, а кривая x =ϕ(t ), y =ψ (t ) –

фазовой траекторией системы (36). Сама система (36) называется динамиче-

ской системой. Динамическая система называется автономной (стационар-

ной), если в правые части уравнений этой системы t не входит явным образом. Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки в любой момент времени t . Решение динамической системы x = x(t ),

y = y(t ) – это уравнения движения точки: они определяют положение движу-

щейся точки в любой момент времени t . Начальные условия задают положение точки в начальный момент: x(t0 )= x0 , y(t0 )= y0 . Уравнения движения опреде-

ляют также и траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.

4. Линейные однородные системы. Нормальная линейная однородная система n -го порядка имеет вид

53

В области непрерывности коэффициентов aij (t ), i, j =1,...,n , система (37)

удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (37) называется совокуп-

ность произвольных n линейно независимых решений

Xk (t )= (x1(k ) (t ), x2(k ) (t ),..., xn(k ) (t ))T , k =1,2,...,n .

Если Xk (t ), k =1,2,...,n , – фундаментальная система решений системы

n

(37), то общее решение имеет вид X (t )= ∑Ck Xk (t ), где C1 , C2 , …, Cn – про-

k =1

извольные постоянные.

Интегрирование системы (37) обычно проводится методом исключения. В частном случае систем с постоянными коэффициентами, когда матрица A(t ) в правой части (38) не зависит от t , для отыскания фунда-

ментальной системы решений Xk (t ), k =1,2,...,n , могут быть использованы методы линейной алгебры.

54

находятся различные корни λ1 , λ2 , …, λs и для всякого корня λ (с учётом его кратности) определяется соответствующее ему частное решение X (λ) (t ). Общее решение системы имеет вид

s

X (t )= ∑Ck X (λk ) (t ).

k =1

При этом возможны следующие случаи:

а) λ – действительный корень кратности 1. Тогда

ского уравнения (39) является также сопряжённое с λ число λ . Вместо комплексных частных решений X (λ) (t ) и X (λ)(t ) следует взять действительные ча-

стные решения X1(λ) (t )= Re X (λ) (t ) и X2(λ) (t )= Im X (λ) (t ).

в) λ – корень кратности r ≥ 2 . Соответствующее этому корню решение системы (39) ищется в виде вектора

нейных уравнений, получающейся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки вектора (40) в исходную систему

(39).

5. Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неоднород-

ная система дифференциальных уравнений имеет вид

где по крайней мере одна из функций fk (t ) не равна тождественно нулю. В матричной форме система (41) имеет вид

где F (t )= (f1 (t ), f2 (t ),..., fn (t ))T . Интегрирование системы (41) можно прово-

дить методом исключения, однако иногда предпочтительнее найти предварительно решение X0 (t ) соответствующей (42) однородной системы

i( )

икакое-либо частное решение X t системы (42). Тогда общее решение системы (42) имеет вид

Если известна фундаментальная система Xk (t ), k =1,2,...,n , решений однородной системы (43), то общее решение X (t ) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая

k =1

определяем функции Ck (t ) подстановкой (44) в систему (42). Учитывая при этом равенства

Xk (t )− A(t)Xk (t) = 0 , k =1,2,...,n ,

приходим к системе уравнений относительно Ck (t ):

n

∑Ck (t )Xk (t )= F (t ).

k =1

56

Из этой системы находим Ck (t )=ϕk (t ) и, интегрируя, получаем функции Ck (t )

с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их в (44), получаем искомое общее решение неоднородной системы (42).

Если коэффициенты aij (t ) системы (41) постоянны, т. е. aij (t ) = aij , i, j =1,...,n , а функции fi (t ) имеют вид произведений

том совпадения или несовпадения чисел α ±iβ с корнями характеристического

Кратные интегралы

§ 31. Двойной интеграл

1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. Пусть функция f (x, y) = f (P) определена и

рез dk . Зафиксируем точки Pk Δσk , k =1,.., n . Выражение

n

Sn = ∑ f (Pk ) σk

k =1

называется интегральной суммой для функции f (P) по области G . Если суще-

ствует предел последовательности интегральных сумм Sn при max dk → 0 (при

1≤k≤n

57

этом n → ∞) и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти σk , ни от выбора точек Pk σk , то он называ-

ется двойным интегралом от функции f (x, y) по области G и обозначается че-

рез ∫∫ f (x, y)dxdy .

G

Таким образом,

Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:

∫∫(α f + βg )(x, y)dxdx =α∫∫ f (x, y)dxdy + β∫∫g (x, y)dxdy , α, β \;

причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y ( x – параметр), а полученный результат интегрируется по x . Заметим при этом, что если кривая ϕ1 (x) (или кривая ϕ2 (x)) в промежутке a ≤ x ≤ b задаётся разными аналитическими выражениями, например,

то интеграл справа записывается в виде суммы двух интегралов

58

Двойной интеграл, представленный в виде (1) или (2), называется также повторным интегралом.

2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции

осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области Γ плоскости O′uv на область G плоскости Oxy . Это означает, что

существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение u =η(x, y) и v = χ(x, y) области G на область Γ и в области Γ отличен от нуля якобиан преобразования, т. е.

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области Γ и в то же время как криволинейные координаты точек области G .

Если в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

G

произвести замену переменных по формулам (3), то областью интегрирования полученного интеграла будет уже область Γ, которая при надлежащем выборе функций ϕ(u,v) и ψ (u,v) может оказаться значительно проще области G , и

имеет место формула

Для вычисления интеграла по области Γ применяются изложенные в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным.

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются полярные координаты

x = r cosϕ , y = r sinϕ ,

для которых

иформула (4) записывается в виде

∫∫f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ,r sinϕ)rdrdϕ .

GΓ

3.Приложения двойных интегралов. Геометрические приложе-

ния. Площадь S плоской области G выражается, в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

S = ∫∫dxdy

G

в декартовых прямоугольных координатах,

S = ∫∫ I dudv

Γ

в криволинейных координатах. Здесь

В частности, в полярных координатах x = r cosϕ , y = r sinϕ имеем

60

S = ∫∫rdrdϕ .

Γ

Если гладкая поверхность имеет уравнение z = f (x, y), то площадь части этой поверхности, проектирующейся в область G плоскости Oxy равна

ностью, вырезающей на плоскости Oxy область G , выражается интегралом

V = ∫∫ f (x, y)dxdy .

G

Механические приложения. Если пластинка занимает область G плоскости Oxy и имеет переменную поверхностную плотность γ =γ (x, y), то

масса M пластинки и её статические моменты M x и M y относительно осей Ox и Oy выражаются двойными интегралами

M = ∫∫γ (x, y)dxdy ,

G

M x = ∫∫yγ (x, y)dxdy , M y = ∫∫xγ (x, y)dxdy .

G G

Координаты центра масс x и y пластинки определяются следующим образом:

Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны

Ix = ∫∫y2γ (x, y)dxdy , Iy = ∫∫x2γ (x, y)dxdy ,

G G