Metoditchka_Vyshka_ch2

32

M y = ∫b ρ(x)x 1+(f ′(x))2 dx ,

a

моменты инерции Ix и Iy относительно тех же осей Ox и Oy вычисляются по формулам

Ix = ∫b ρ(x) f 2 (x) 1+(f ′(x))2 dx ,

a

Iy = ∫b ρ(x)x2 1+(f ′(x))2 dx ,

a

а координаты центра масс x и y – по формулам

2. Теорема Гульдена. В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и её не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой её центром масс.

Дифференциальные уравнения

§ 28. Уравнения 1-го порядка

1. Основные понятия. Функциональное уравнение

33

или

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x)

и её производную y′(x), называется дифференциальным уравнением 1-го по-

рядка.

Решением (частным решением) уравнения (1) или (2) на интервале (a,b)

называется любая функция y =ϕ(x), которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной ϕ′(x), обращает его в тождество относительно x (a,b). Уравнение Φ(x, y) = 0 , определяющее это решение как неяв-

ную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат уравнение Φ(x, y) = 0 определяет некоторую кривую, ко-

торая называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Функция y =ϕ(x,C ) называется общим решением уравнения (1) или (2),

если при любом допустимом значении параметра C она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде y =ϕ(x,C0 ) при некотором значении C0 параметра C .

Уравнение Φ(x, y,C ) = 0, определяющее общее решение как неявную функцию,

называется общим интегралом дифференциального уравнения. Пусть задано уравнение

Φ(x, y,C ) = 0,

определяющее на плоскости некоторое семейство кривых, зависящих от значений параметра C . если составить систему двух уравнений

Φ(x, y,C ) = 0, Φ′x (x, y,C ) = 0 ,

то, исключая из этой системы параметр C , получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение заданного семейства кривых.

2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изо-

клин). Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) в плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Oxy определяет поле направлений равенством tg α = f (x, y).

Изоклиной уравнения (поля направлений) называется всякая кривая, определяемая уравнением

34

f (x, y) = k

при фиксированном k .

Для приближённого (графического) решения уравнения y′ = f (x, y) построим на плоскости изоклины для нескольких значений k . Пусть M0 (x0 , y0 ) – некоторая начальная точка. Изоклина L0 , проходящая через эту точку, соответствует значению k , равному k0 = f (x0 , y0 ). Проведём отрезок M0M1 с угловым коэффициентом k0 до пересечения в точке M1 с ближайшей изоклиной L1 (тем самым мы заменим дугу интегральной кривой отрезком её касательной). Далее, из точки M1 (x1, y1 ) проведём новый отрезок M1M2 с угловым коэффициентом k1 = f (x1, y1 ) до пересечения в точке M2 со следующей изоклиной L2 и т. д.

В результате такого построения мы получим ломаную, являющуюся приближённым изображением интегральной кривой, проходящей через начальную точку M0 . Чем гуще взята сеть изоклин, тем более точно можно получить инте-

гральную кривую.

Изменяя положение начальной точки M0 , аналогично можно построить

приближённо и другие интегральные кривые.

3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении

y′ = f (x, y)

функция f (x, y) может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной: f (x, y) = f1 (x) f2 (y), или в уравнении

Интегрируя левые части этих уравнений по x , а правые по y , приходим в каж-

дом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения. Если в уравнении с разделяющимися переменными y′ = f1 (x) f2 (y) функ-

ция f2 (y) имеет действительный корень y0 , т. е. если f2 (y0 )= 0 , то функция y(x)= y0 является решением уравнения (в чём легко убедиться непосредствен-

35

ной подстановкой). При делении обеих частей этого уравнения на f2 (y) (при разделении переменных) решение y(x) = y0 может быть потеряно.

Аналогично, при интегрировании уравнения

M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = 0

могут быть потеряны интегральные кривые x(y) = x0 и y(x) = y0 , где x0 – действительный корень уравнения N1 (x) = 0 , y0 – действительный корень уравне-

ния M2 (y) = 0 .

Поэтому, получив указанным выше методом разделения переменных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при подходящих числовых значениях параметра C ) упомянутые частные решения. Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то их следует включить в состав интеграла.

С помощью подстановки u (x) = ax +by(x)+ d к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида

y′ = f (ax +by + d ), b ≠ 0 .

4. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно привести к виду

или к виду

где M (x, y) и N (x, y) – однородные функции одного порядка, т. е. существует такое k ], что M (tx,ty)= tk M (x, y) и N (tx,ty)= tk N (x, y) тождественно относительно x , y и t ≠ 0 .

С помощью подстановки xy =u(x) однородные уравнения (3) и (4) преоб-

разуются в уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида

36

в случае a2 ≠ b2 приводятся к однородным уравнениям с помощью замены пе- a1 b1

ременных

x =u + m , y = v + n ,

где m и n находятся из системы уравнений

a1m +b1n + c1 = 0, a2m +b2n + c2 = 0.

Поскольку здесь dx = du , dy = dv , то уравнение (5) преобразуется к виду (3) относительно функции v(u):

Если в уравнении (5) a2 = b2 = λ и, следовательно, a1 b1

a2 x +b2 y = λ(a1x +b1 y),

то оно примет вид

разделяющимися переменными.

5. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит y и y′ в первой степени, т. е. имеет вид

При Q(x)≡ 0 уравнение (6) принимает вид

y′ = P(x)y

37

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение имеет вид

где C – произвольная постоянная, а ∫P(x)dx – одна из первообразных функции P(x).

Интегрирование линейного неоднородного уравнения (6) можно провести одним из следующих методов.

а) Метод вариации постоянной. Будем искать решение уравнения

(6) в виде

который получается из (7), если заменить постоянную C на функцию C (x).

Подставляя выражение (8) в уравнение (6), получим для неизвестной функции C (x) уравнение с разделяющимися переменными:

C′(x)=Q(x)e−∫P(x)dx .

Его общее решение:

C (x)= ∫Q(x)e−∫P(x)dxdx +C ,

где C – произвольная постоянная, а ∫Q(x)e−∫P(x)dxdx – одна из первообразных. Подставляя полученное выражение для C (x) в формулу (8), находим общее решение уравнения (6):

38

Выберем функцию u (x) так, чтобы первая скобка в левой части уравнения (9)

обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение с разделяющимися переменными

dudx − P(x)u = 0

и выбираем какое-либо частное его решение u = u1 (x). Подставляя функцию u1 (x) вместо u в левую часть уравнения (9), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v(x):

dvdx u1 (x)−Q(x)= 0 .

Находим общее решение этого уравнения v = v(x,C ). Перемножая найденные функции u1 (x) и v(x,C ), получаем общее решение уравнения (6):

y= u1 (x)v(x,C ).

6.Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

где m ≠ 0 , m ≠1 (при m = 0 уравнение (10) является линейным, а при m =1 – уравнением с разделяющимися переменными).

Так же как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки y = uv или свести к линейному уравнению с помощью

подстановки z = y1−m . Следует учесть, что при m >1 может быть потеряно решение y = 0 .

7. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравне-

ние 1-го порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y), т. е.

P(x, y)= ∂∂Ux , Q(x, y)= ∂∂Uy .

39

Для того чтобы уравнение (11) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

∂∂Py = ∂∂Qx .

Если уравнение (11) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде

dU (x, y)= 0 .

Общий интеграл этого уравнения:

U (x, y)= C ,

где C – произвольная постоянная.

Функция U (x, y) может быть найдена следующим образом. Интегрируя

Затем из равенства

∂∂y ∫P(x, y)dx +ϕ′(y)= Q(x, y)

находим функцию ϕ(y), подставив которую в (12), получим функцию U (x, y). Очевидно, что искомая функция U (x, y) определена с точностью до про-

извольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства.

Другой метод отыскания функции U (x, y) состоит в вычислении криволинейного интеграла 2-го рода:

M0 (x0 , y0 ) – некоторая фиксированная точка.

8. Теорема существования и единственности решения. Особые реше-

ния. Задачей Коши для дифференциального уравнения y′ = f (x, y) называется

задача об отыскании частного решения этого уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию y(x0 )= y0 .

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении y′ = f (x, y) функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости Oxy и имеет в этой области ограниченную частную производную fy′(x, y), то для любой точки (x0 , y0 ) D в некотором интервале x0 − h ≤ x ≤ x0 + h существует и притом единственное решение y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному

условию y(x0 )= y0 .

Геометрически это означает, что через каждую точку M области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения y′ = f (x, y).

Точки области D , в которых нарушается единственность решения задачи Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения.

Решение (интегральная кривая) уравнения y′ = f (x, y), в каждой точке

которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется осо-

бым решением (особой интегральной кривой) этого уравнения. Особое решение

не может быть получено из общего ни при каких значениях C (включая и

C = ±∞).

Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых общим решением y =ϕ(x,C ) или общим интегралом Φ(x, y,C ) = 0, является особой ин-

тегральной кривой. Она находится путём исключения, если это возможно, параметра C из системы двух уравнений

Найденную таким путём функцию следует подставить в данное дифференциальное уравнение и убедиться, что она является его решением.

9. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Пусть дифференциальное уравнение F (x, y, y′) = 0 разрешимо либо относительно ис-

комой функции, т. е. имеет вид