Metoditchka_Vyshka_ch2

Тогда оно интегрируется путём введения параметра p = y′. Уравнения (13) и

(14) переходят в алгебраические уравнения, дифференцируя которые соответственно по x или по y , получим системы уравнений

p = ∂∂fx + ∂∂pf dpdx или 1p = ∂∂fy + ∂∂pf dpdy .

Из этих систем находится соответственно общее решение уравнения (13) или (14) в явном или параметрическом виде.

Частным случаем уравнений вида (13) является так называемое уравнение Лагранжа

которое при f (y′)≡ y′ называют уравнением Клеро. Введением параметра p = y′ уравнение (15) приводится к виду

y= xf (p)+ϕ(p)

вслучае общего уравнения Лагранжа и к виду

y = xp +ϕ(p)

в случае уравнения Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет особые решения

y = xf (p0 )+ϕ(p0 ),

где p0 – любой из корней уравнения f (p)= p . Уравнение Клеро имеет общее решение

и особое решение

42

являющееся огибающей семейства интегральных кривых (16).

Таким образом, можно сформулировать следующее практическое правило. Заменив в уравнении Клеро символ y′ символом C , мы сразу полу-

чаем общее решение (16). Дифференцируя его по C и исключая C из системы двух уравнений (общего решения и результата дифференцирования), получаем особое решение (17).

11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка. В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству её касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а также следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n , подкасательной st и поднормали sn :

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в физических задачах часто применяется метод дифференциалов, по которому приближённые соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. Такая замена не отражается на результатах, так как дело сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Другим методом составления дифференциальных уравнений является использование физического смысла производной как скорости протекания процесса.

§ 29. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Теорема Коши. Дифференциальное уравнение n -

го порядка имеет вид

или

43

Задачей Коши для дифференциального уравнения (19) называется задача отыскания решения y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям

y =ϕ(x,C1,...,Cn ), которая при любых допустимых значениях параметров C1 ,

…, Cn является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (20) найдутся постоянные C1 , …, Cn , определяемые из системы уравнений:

y0 =ϕ(x0 ,C1,...,Cn ), y0′ =ϕ′(x0 ,C1,...,Cn ),

... ... ... ... ... ... ... ...

y0(n−1) =ϕ(n−1) (x0 ,C1,...,Cn ).

Уравнение

Φ(x, y,C1,...,Cn )= 0 ,

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения за-

дачи Коши. Если дифференциальное уравнение (19) таково, что функция f (x, y, y′,..., y(n−1) ) в некоторой области D изменения своих аргументов непре-

этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (20).

2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Ниже приводятся не-

которые виды дифференциальных уравнений n -го порядка, допускающие понижение порядка.

а) Уравнение вида y(n) = f (x). Общее решение получается путём n - кратного интегрирования

y = ∫dx∫dx ... ∫ f (x)dx + Pn−1 (x),

44

где

Pn−1 (x) =C1xn−1 +C2 xn−2 +... +Cn−1x +Cn ,

или по формуле

б) Уравнения вида F (x, y(k ),..., y(n) )= 0 , т. е. уравнения, не содержа-

щие явно искомой функции и её производных до порядка k −1 включительно. С помощью замены y(k ) = p(x) порядок уравнения понижается на k единиц:

F (x, p, p′,..., p(n−k ) )= 0 .

Предположим, что для полученного уравнения мы можем найти общее решение p(x)=ϕ(x,C1,...,Cn−k ). Тогда искомая функция y(x) получается путём k -

кратного интегрирования функции ϕ(x,C1,...,Cn−k ).

в) Уравнения вида F (y, y′, y′′,..., y(n) )= 0 , не содержащие явно независимой переменной. Подстановкой

и т. д. порядок уравнения понижается на единицу.

г) Уравнения вида dxd G(x, y, y′,..., y(n−1) )= 0 , т. е. такие уравнения, в которых левая часть может быть представлена как полная производная по x от

некоторой функции G (x, y, y′,..., y(n−1) ). Интегрируя по x , получим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения.

д) Уравнение F (x, y, y′, y′′,..., y(n) )= 0 , однородное относительно функции и её производных, т. е. такое, что

F (x,ty,ty′,...,ty(n) )= tk F (x, y, y′,..., y(n) ), t ≠ 0 .

Подстановкой y′ = yz порядок уравнения понижается на единицу.

45

В некоторых случаях найти решение в виде явной или неявной функции затруднительно, однако удаётся получить решение в параметрической форме.

3. Линейные однородные уравнения. Уравнение вида

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка. Если известно какое-либо частное решение y1 (x) уравнения (21), то подста-

новка y(x) = y1 (x)z (x) приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z′(x) = u(x), получим линейное однородное уравнение порядка n −1 относительно функции u (x).

Изложенный метод обобщается на случай, когда известно k частных линейно независимых решений уравнения (21). В этом случае путём надлежащих подстановок порядок уравнения может быть понижен на k единиц.

Определителем Вронского (вронскианом) системы функций y1 (x), y2 (x), …, yn (x) называется определитель

y1(n−1) (x) y2(n−1) (x) ... yn(n−1) (x)

Если система функций y1 (x), y2 (x), …, yn (x) линейно зависима на интервале (a,b), то её вронскиан равен нулю всюду на этом интервале. Если же

хотя бы в одной точке x0 (a,b) имеем W (x0 )≠ 0 , то система функций y1 (x), y2 (x), …, yn (x) линейно независима на (a,b).

Всякая система из n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x), …, yn (x) уравнения (21) называется фундаментальной системой решений этого

уравнения. Вронскиан фундаментальной системы решений отличен от нуля на всём интервале, где эти решения определены. если известна фундаментальная система решений уравнения (21), то общее решение этого уравнения имеет вид

y(x)= C1 y1 (x)+... +Cn yn (x),

где C1 , …, Cn – произвольные постоянные.

4. Линейные неоднородные уравнения. Уравнение вида

в котором f (x) не равна тождественно нулю, называется линейным неоднород-

ным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Общее решение уравнения (22) определяется формулой

y(x) = y0 (x)+ y(x),

где y0 (x) – общее решение соответствующего однородного уравнения (21), аy(x) – некоторое частное решение неоднородного уравнения (22).

Если известно общее решение y0 (x) =C1 y1 (x)+... +Cn yn (x) соответствующего уравнению (22) однородного уравнения (21), то для определения частного решения y(x) уравнения (22) можно воспользоваться методом Лагран-

жа вариации произвольных постоянных.

Именно, будем искать частное решение неоднородного уравнения (22) в виде y(x) = C1 (x)y1 (x)+... +Cn (x)yn (x), где от функций C1 (x), …, Cn (x) до-

Определитель этой системы есть отличный от нуля вронскиан фундаментальной системы решений y1 (x), …, yn (x), поэтому система имеет единственное

решение относительно dCdxν , ν =1, 2 , …, n .

Если правая часть линейного неоднородного уравнения (22) есть сумма нескольких функций

f (x)= f1 (x)+ f2 (x)+... + fr (x)

47

и yi (x) (i =1,2,...,r ) – некоторые частные решения уравнений

y(n) + a1 (x)y(n−1) +... + an−1 (x)y′+ an (x)y = fi (x) (i =1,2,...,r )

соответственно, то сумма

y(x) = y1 (x)+ y2 (x)+... + yr (x)

есть некоторое частное решение уравнения (22) (принцип суперпозиции решений).

5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициента-

ми. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

полученное заменой производных y(k ) ( k = 0,1,...,n ) искомой функции степеня-

ми λk , называется характеристическим уравнением для уравнения (23). Каж-

дому действительному корню уравнения (24) кратности r соответствуют r линейно независимых решений уравнения (23):

eλx , xeλx , …, xr−1eλx ,

а каждой паре комплексных корней λ =α ±iβ кратности s соответствуют s пар линейно независимых решений:

eαx cos βx, xeαx cos βx,..., xs−1eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx sin βx,..., xs−1eαx sin βx.

Таким образом, если характеристическое уравнение имеет k действительных корней λ1 , …, λk кратностей r1 , …, rk и l пар комплексно-

сопряжённых корней α1 +iβ1 , α1 −iβ1 , …, αl +iβl , αl −iβl кратностей s1 , …, sl ( r1 +... + rk + 2s1 +... + 2sl = n ), то общее решение уравнения (23) запишется в ви-

де

49

для f (x) = f2 (x). Здесь Dν , Bν и Cν – неопределённые коэффициенты,

Если же λ или α ±iβ совпадают с некоторым корнем уравнения (24) кратности r , то выражения в правой части (27) или (28) следует домножить на xr , т. е. искать решение соответственно в виде

y(x) = xr (D0 xm + D1xm−1... + Dm )eλx

для f (x) = f1 (x) или

y(x)= xr ((B0 xm +... + Bi )cos βx +(C0 xm +... +Ci )sin βx)eαx

i i

m m

для f (x) = f2 (x).

7. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений.

Во многих физических задачах приходится искать решения дифференциальных уравнений не по заданным начальным условиям, а по их значениям на концах интервала. Такие задачи получили название краевых (граничных) задач. Общий вид краевых условий для интервала (a,b) в случае уравнений 2-го порядка та-

ков:

где α0 , α1 , β0 , β1 – одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые условия называются однородными, если из того, что функции y1 (x) и y2 (x) удовлетворяют этим условиям, следует, что и их линейная комбинация y(x) = C1 y1 (x)+C2 y2 (x) также удовлетворяет этим условиям. Краевые условия

(29) при A = B = 0, очевидно, однородны.

Краевые задачи не всегда разрешимы. При решении краевой задачи сначала находится общее решение данного дифференциального уравнения, и из граничных условий получается система для определения значений постоянных C1 , C2 , …, Cn , при которых из общего решения получается решение данной

краевой задачи.

§ 30. Системы дифференциальных уравнений

1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями n -

го порядка. Если система k дифференциальных уравнений, связывающая независимую переменную x и k функций y1 (x), y2 (x), …, yk (x), разрешена от-

50

носительно старших производных этих функций y1(p1 ) (x), y2(p2 ) (x), …, yk(pk ) (x), т. е. имеет вид

то она называется канонической, причём число n = p1 + p2 +... + pk называется порядком системы. Каноническая система (30) при p1 = p2 =... = pk =1, т. е. система дифференциальных уравнений

y1′(x) = f1 (x, y1,..., yn ),

называется нормальной системой.

Решением системы (31) на интервале a < x < b называется совокупность функций y1 =ϕ1 (x), …, yn =ϕn (x), непрерывно дифференцируемых на (a,b) и

обращающих уравнения системы (31) в тождества относительно x (a,b). Интегралом нормальной системы (31) называется функция Ψ(x, y1,..., yn ),

определённая и непрерывная вместе с частными производными ∂Ψ , ∂Ψ , …,

∂x ∂y1

∂Ψ в некоторой области D изменения переменных и принимающая при лю-

∂yn

бых x (a,b) постоянное значение при подстановке в неё произвольного реше-

ния системы. Равенство

Ψ(x, y1,..., yn )= C ,

где Ψ(x, y1,..., yn ) – интеграл нормальной системы, а C – произвольная посто-

янная, называется первым интегралом системы (31). Дифференциальное уравнение n -го порядка