2 Предел числовой последовательности

1.4 Домашнее задание

2.1 Теоретическая часть

2.2Образцы решения примеров

2.3 Примеры для самостоятельной работы

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

10-pr_vvedenie_v_matematicheskij_analiz.pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

518.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

f 1 ,

f (10) , если

f (x) arccos(lg x) .

1.4.1 Найти

1.4.2 Найти область определения функций:

а)

y 3 x4

;

г)

x2 1 ;

б)

;

д)

25 x2

lg sin x .

x4 16

в)

y arcsin

;

1.4.3 Выяснить, какая функция четная и какая нечетная:

а)

f (x)

1 x2

;

б)

f (x) 2x5 cos x .

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставить в соответствие вполне определенное число an , то говорят, что задана числовая последовательность

an : a1 , a2 , …, an , … .

Числовая последовательность – это функция натурального аргумента: an f n , n N .

Число A называется пределом последовательности an при n ,

стремящемся к бесконечности, если для любого ε > 0 найдется такое натуральное число N N , что для всех n N имеет место неравенство

an A .

Кратко, при помощи кванторов

lim an A 0 N N( ) : n N an A .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в следующем: для достаточно больших n члены последовательности как угодно мало отличаются от числа A (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно не было) (рисунок 1).

Рисунок 1
Неравенство an A	равносильно неравенству A an A .

Следовательно, все члены последовательности будут заключены в - окрестности точки a , какой бы узкой она ни была.

Вне -окрестности может быть лишь конечное число членов последовательности.

Теорема 1 (о существовании предела). Если последовательность an

монотонно возрастает (убывает) и сверху (снизу) ограничена, то она имеет предел.

предел. Этот предел обозначается буквой е:

	1 n	e , где e 2,7182818284590... 2,7 .
lim 1		e , где e 2,7182818284590... 2,7 .
n	n

Вычисление пределов последовательностей основано на приведении

к«удобным» выражениям или при помощи теоремы 2.

	1 n
		1.
Пример 1 – Доказать, что lim 1	n	1.
n	n

Решение

an 1 1 n . n

Пусть, например, 0,1. Тогда	an 1	0,1 или		1 n	1	, т. е.
			1

				n

выполняется при n 10 . Аналогично для

0,01

an 1

при

1 .

n 100 . Для

любого 0

неравенство

выполняется при

1 n

Итак,

, что n N

an 1

, т. е. lim 1

Пример 2 – Вычислить предел lim 2n22 3n 2 .

n 5n n 7

Решение

Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень n 2 :

																			n			2				2					3				2
																																								2
																															n
														lim																	n			n2									,
														lim																	1				7					5
														n						n		2				5					1				7					5
																															n

																																		n2
т. к. при n	3	0					,				2		0 ,												1			0					,	7			0 .
т. к. при n		0					,			n2			0 ,												n			0					,	n2			0 .
	n									n2															n									n2
Пример 3 – Вычислить																			lim								12n2						3n 2										.
Пример 3 – Вычислить																			lim								7n3 6n2 3																.
																			n								7n3 6n2 3
Решение
Вынесем за скобки старшую степень n3 :
			n	3			12							3								2												12						3					2


								n					n2								n3														n n2								n3					0
lim								n					n2								n3								lim						n n2								n3					0	0.
lim												6							3										lim																			7	0.
n				n		3			7			6							3												n					7		6							3			7

																																							n					n3
													n					n3
													n					n3
Пример 4 – Вычислить																					lim								4n3 3n 1													.
Пример 4 – Вычислить																					lim								n		2			2n				1				.
																					n								n					2n				1
Решение
Вынесем за скобки n3 :
					n			3			4					3									1															3					1
																																				4
															n		2						n			3
																	2									3													n2							n3
	lim																													lim									n2							n3	.
	lim								1							2									1					lim																	.
	n				n		3		1							2									1							n 1								2					1

																																				n					n				n3
																n	2							n3
									n							n	2							n3

Из этих примеров можно сделать вывод

предел

рациональной дроби = при n

отношению старших коэффициентов, еслистепени числителя и знаменателя равны;0, если степень числителя степени знаменателя;

, если степень числителя степени знаменателя.

Пример 5 – Вычислить lim	n2 3n 1	n2 n .
n

Решение

Имеем неопределенность вида .

Умножим и разделим на выражение, сопряженное данному, и используем формулу

a b

a b .

n2 3n 1 n2

4n 1

lim

n2 3n 1 n2

n2 3n 1

n2 n

n 4

lim

Теорема 2 (о числе е). Последовательность

Теорема 2 (о числе е). Последовательность

2.3.1 Вычислить пределы:

1)	lim		2n2		3n 1		;
1)	lim	12n		2	7n	8	;
	n	12n			7n	8
2)	lim		n2	2n n				2 3n	;
2)	lim				5				;
	n				5
3)	lim		3n2	7n 11			;
3)	lim		2n	3	n 2		;
	n		2n	3	n 2

4) limn 4 nn4 45 ;

5)	lim	2n n! 3 n 1 !			;
5)	lim		(n 1)! 4n!		;
	n		(n 1)! 4n!
6)	limn	n 3 2 n n3			;
7)	lim		n! n 2 !			;
7)	lim	n 3 n! n 1 !				;
	n	n 3 n! n 1 !
8)	lim		n2	;
8)	lim	10 n n		;
	n	10 n n

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
29.02.2016410.78 Кб2110-iz_02_vvedenie.v.matematicheskij.analiz.pdf
#
29.02.2016456.12 Кб2410-pr_opred_matrix_slau.pdf
#
29.02.2016518.7 Кб12310-pr_vvedenie_v_matematicheskij_analiz.pdf
#
29.02.2016610.16 Кб21Metodichka_po_vyshke_1_ch.pdf
#
29.02.2016736.65 Кб28Metoditchka_Vyshka_ch2.pdf