Методичка для практических занятий (2)

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

па0 а1 1х у

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для

чего производят замену переменных: 1х х1 и получают следующую систему

нормальных уравнений:

па0 а1 х1 у а0 х1 а1 х12 х1 у

Решая данную систему уравнений, определяются параметры уравнения гиперболы.

Уравнение степенной функции ух а0 ха1 применяется в экономических

исследованиях для характеристики слабой нелинейной связи между результативными и факторными признаками. Параметр а1 показывает, что с увеличением факторного признака на 1%, результативный признак увеличивается на а1 процентов, т.е. является коэффициентом эластичности.

Для определения параметров степенной функции методом наименьших квадратов степенную функцию необходимо привести к линейному виду путем логарифмирования:

lg y lg a0 a1 lg x .

Далее производят замену переменных: lg y y1 , lg a0 b , lg x x1 , после

чего записывают предыдущее уравнение в новых обозначениях:

у b a1x1 .

Затем строится система нормальных уравнений6

у пb a1 x1

x1 y b x1 a1 x12

Решая данную систему уравнений, определяются параметры a1 и y . Переходя к первоначальным обозначениям lg a0 b , определяется параметр

а0 .

Обычно изменение экономических явлений происходит под влиянием не одного, а большого числа самых разнообразных факторов, в таких случаях связь между результативным и факторными признаками выражается уравнением множественной регрессии.

Уравнения множественной регрессии могут быть линейными, криволинейными и комбинированными. Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с двумя переменными:

51

ух а0 а1х а2 z .

Параметры такого уравнения определяются решением системы нормальных уравнений:

па0 а1 х а2 z у

а0 х а1 х2 а2 хz ху а0 z а1 хz а2 z2 zу

Параметр а0 показывает усредненное влияние на результат неучтенных факторных признаков, параметры а1 и а2 характеризуют влияние одного из факторов при элиминировании другого.

6.2.Вопросы для самоконтроля

1.Что такое корреляционная связь и какой круг вопросов она изучает?

2.Какие приемы используются для выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками?

3.Какие показатели являются мерой тесноты связи между двумя признаками?

4.Как оценить существенность линейного коэффициента корреляции?

5.Какие показатели используют для измерения степени тесноты связи между качественными признаками?

6.В чем состоит значение уравнения регрессии?

7.Как проводится анализ параметров парной регрессии?

8.Как осуществить прогноз значений результативного признака по уравнению регрессии?

9.Как подходить к отбору факторов для включения их в уравнение множественной регрессии?

10.Каким образом можно выделить факторы, оказывающие наибольшее влияние на изменение результативного показателя?

11.Требования к построению корреляционных моделей

12.Показатели меры тесноты связи между двумя количественными признаками

13.Показатели степени тесноты связи между качественными признаками

14.Значение уравнения регрессии. Что характеризует коэффициент регрессии?

15.Какая существует взаимосвязь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии?

16.Значение корреляционного отношения

17.Коэффициент эластичности. Что означает коэффициент эластичности, равный 0,58.

6.3.Тесты

1.Степень тесноты связи между признаком-фактором и признакомрезультатом определяется с помощью:

а) среднего квадрата отклонений; б) эмпирического корреляционного отношения;

в) среднеквадратического отклонения

52

2.Степень тесноты связи между признаком-фактором и признакомрезультатом можно определить по:

а) коэффициенту детерминации; б) среднеквадратическому отклонению; в) среднему квадрату отклонений

3.Соответствие уравнения регрессии фактическому характеру связи между признаком-фактором и признаком-результатом проверяется по:

а) коэффициенту детерминации; б) индексу корреляции; в) среднему квадрату отклонений

4.Наиболее тесную связь показывает коэффициент корреляции … .

а) rxy = 0,982 б) rxy = - 0,991 в) rxy = 0,871

5. Обратную связь между признаками показывает коэффициент корреляции

а) rxy = 0,982 б) rxy = -0,991 в) rxy = 0,871

6.Межгрупповая дисперсия составляет 61% от общей дисперсии. Эмпирическое корреляционное отношение = ... (с точностью до 0,01).

7.Для измерения тесноты корреляционной связи между двумя количественными признаками используются ... .

а) коэффициент корреляции Фехнера б)коэффициент эластичности в)линейный коэффициент корреляции

г)коэффициент корреляции рангов Спирмена

8.Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой корень квадратный из отношения ... дисперсии(й).

а) средней из групповых дисперсий к общей б) межгрупповой дисперсии к общей

в) межгрупповой дисперсии к средней из групповых г) средней из групповых дисперсий к межгрупповой

9.Теснота связи двух признаков при нелинейной зависимости определяется по формуле ... .

10. Корреляционный анализ используется для изучения ... .

а)взаимосвязи явлений б) развития явления во времени в) структуры явлений

11. Тесноту связи между двумя альтернативными признаками можно измерить с помощью коэффициентов ... .

знаков Фехнера а) корреляции рангов Спирмена б) ассоциации

г) контингенции д) конкордации 12. Парный коэффициент корреляции может принимать значения ... .

53

а) от 0 до 1 б) от -1 до 0 в) от -1 до 1

г) любые положительные д) любые меньше нуля

13.Множественный коэффициент корреляции может принимать значения ... .

а) т 0 до 1 б) от -1 до 0 в) от -1 до 1

г) любые положительные д) любые меньше нуля

14.Если результативный и факторный признаки являются количественными, то для анализа тесноты связи между ними могут применяться...

а) корреляционное отношение б) линейный коэффициент корреляции в) коэффициент ассоциации

г) коэффициент корреляции рангов Спирмена д) коэффициент корреляции знаков Фехнера

15.Прямолинейная связь между факторами исследуется с помощью уравнения регрессии ...

а) yx a0 a1x б) y x a0 ax1

в) yx a0 a1x a2 x2 г) y x a0 xa1 .

16. Для аналитического выражения нелинейной связи между факторами используются формулы ...

а) yx a0 a1x

y x 36,5 1,04x показывает, что:

а) с увеличением признака "х" на 1 признак "у" уменьшается на 1,04 б) связь между признаками "х" и "у" прямая в) связь между признаками "х" и "у" обратная

54

г) с увеличением признака "х" на 1 признак "у" уменьшается на 36,5 19. Рабочему Давыдову при проведении ранжирования рабочих с целью

исчисления коэффициента корреляции рангов следует присвоить ранг …. при наличии следующих данных о квалификации рабочих:

20. Коэффициент детерминации представляет собой долю ...

а) дисперсии теоретических значений в общей дисперсии б) межгрупповой дисперсии в общей в) межгрупповой дисперсии в остаточной

г) дисперсии теоретических значений в остаточной дисперсии

6.4. Задачи

Задание 6.1.

Таблица 6.1. - Результаты оценки уровня жизни работающих на предприятиях разных форм собственности

Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции. Сформулируйте выводы.

Задание 6.2.

Таблица 6.2. - По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные:

Рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена для оценки тесноты связи между суммой прибыли банков и размером его активов; коэффициент Фехнера. Сформулируйте выводы.

Задание 6.3.

Рассчитайте коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова и сделайте по ним выводы.

55

Таблица 6.3. - Оценка студентами профессиональных качеств преподавателей по курсу «Статистика»

Задание 6.4.

Таблица 6.4. - Данные за отчётный год по 30 малым предприятиям одной отрасли экономики, млн. руб.

С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции постройте

56

уравнение регрессии, рассчитайте параметры уравнения, вычислите тесноту связи. Объясните полученные статистические характеристики.

Задание 6.5. Определить степень тесноты корреляционной связи и параметры линейного уравнения регрессии по данным о соотношении среднегодовой численности работников и годового объема продукции по группам однородных промышленных предприятий. Изобразить зависимость графически.

Таблица 6.5. – Исходные данные

Задание 6.6.

Таблица 6.6. - Данные о доле сортовых посевов пшеницы и ее урожайности по группе хозяйств района

Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями исчислите: линейное уравнение прямой регрессии между долей сортовых посевов и уровнем урожайности; линейный коэффициент корреляции. Сделайте выводы.

57

ТЕМА 7. РЯДЫ ДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АНАЛИЗЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

7.1. Методические указания

Динамика означает изменение явлений во времени. Элементами динамического ряда являются два ряда чисел: время "t" и уровень "у". Уровни обычно выражаются в виде абсолютных чисел, но иногда могут быть выражены и средними, и относительными величинами. Время может быть выражено по-разному:

•на начало или конец определенного периода, т.е. на момент времени;

•за определенный период времени (за месяц, квартал, год).

В зависимости от характеристики времени динамические ряды бывают моментные и интервальные.

Ряды динамики, где уровни характеризуют объемы явления на какие-то моменты времени, называются моментными рядами динамики.

Ряды динамики, где уровни характеризуют объемы явления за какие-то периоды (месяцы, кварталы, годы), называются интервальными рядами динамики.

Для исчисления среднего уровня в интервальных рядах динамики применяются формула средней арифметической простой.

yарифм.пр. y

n

Для исчисления среднего уровня в моментных рядах динамики применяется формула средней хронологической.

где y –уровни ряда от первого до n-го момента времени; n- число уровней ряда.

К показателям, характеризующим тенденцию динамики, относятся следующие:

•абсолютные приросты базисные и цепные;

•темпы роста (базисные и цепные);

•темпы прироста (базисные и цепные);

•абсолютное значение одного процента прироста;

•темп наращивания (изменения);

•средний абсолютный прирост;

•средние темп роста и прироста.

Первыми показателями, характеризующими динамический ряд,

являются абсолютные приросты или изменения базисные и цепные,

обозначающиеся знаком (дельта) и определяющиеся по формулам:

yбаз. yi y0 ;

yцепн. yi yi 1 ;

где yбаз. -абсолютный прирост базисный;yцепн - абсолютный прирост цепной;

58

yi- уровень ряда;

уо - начальный уровень ряда; yi-1-уровень, предшествующий уровню уi.

Базисные приросты определяются путем вычитания из каждого уровня ряда y1, у2, ..., уn базисного или первоначального уровня.

Цепные приросты определяются путем вычитания из каждого уровня ряда y1, у2, ..., уn предшествующего уровня, если информация задана по годам. Если информация представлена по месяцам, кварталам, то будем иметь месячные, квартальные приросты. Абсолютные приросты выражаются в виде абсолютных единиц измерения: натуральных или стоимостных.

Для характеристики относительной скорости изменения уровня динамического ряда в единицу времени используются показатели темпа роста и темпа прироста. Темпом роста называется отношение одного уровня ряда динамики к другому уровню, принятому за базу сравнения. Темпы роста, исчисленные к постоянной базе сравнения, называются базисными и рассчитываются по формуле

Темпы роста, исчисленные к переменной базе сравнения, т.е. к предшествующему уровню, называются цепными и рассчитываются по формуле

y

Т Рцепн.. y i *100 i 1

Относительный прирост, или темп прироста, есть отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу.

Темп прироста базисный вычисляется делением абсолютного прироста базисного убаз.нак. на уровень, принятый за постоянную базу сравнения, то есть, на начальный базисный уровень у0:

Темп прироста цепной - это отношение абсолютного прироста цепногоуцепн.год. к предшествующему уровню уi-1:

Т пр.цепн. yцепн. *100

Темпы прироста, как базисные, так и цепные, можно исчислять по следующим формулам:

Абсолютное значение одного процента прироста представляет собой отношение цепного годового (месячного, квартального) абсолютного прироста (изменения) к цепному годовому (месячному, квартальному) темпу прироста и показывает, какая абсолютная величина скрывается за одним процентом прироста; выражается в абсолютных единицах измерения:

59

/% / цепн..

Тпр.цепн..

Темп наращивания определяется путем деления абсолютного цепного прироста Уцепн.год. на уровень, принятый за постоянную базу сравнения у0:

Для полной характеристики динамического ряда исчисляются средние показатели как абсолютные, так и относительные, дающие средние характеристики за ряд периодов (месяцев, кварталов, лет). К ним относятся

средний или среднегодовой абсолютный прирост , и средний, или среднегодовой темп роста Т p . Для исчисления первого показателя используются следующие формулы:

yцепн. ;

n

y n y0 n 1

где yцепн. - сумма годовых абсолютных приростов, исчисленных цепным

методом, по годам;

n- для первой формулы - число цепных (погодовых) абсолютных приростов; n - для второй формулы - число периодов в изучаемом интервале времени, или число членов ряда;

уn - конечный уровень ряда динамики; у0 - базисный уровень ряда динамики.

Для общей характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени исчисляют средние или среднегодовые (среднеквартальные, среднемесячные) темпы роста Т p по абсолютным уровням ряда динамики по следующей формуле:

Т p n 1 yn

y0

На основе средних темпов роста Т p можно исчислить средние темпы прироста по формулам, если

•темпы роста выражены в процентах: Т np Т p 100 ;

•темпы роста выражены в долях единицы: Т np Т p 1.

Для статистического изучения тренда применяются три метода сглаживания:

метод скользящей средней;

метод укрупнения интервалов;

метод аналитического выравнивания по различным математическим

уравнениям.

В основу методов положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а

60